Cho hàm số\(y={{x}^{3}}+(m-1){{x}^{2}}-3mx+2m+1\) có đồ thị (Cm), biết rằng đồ thị \(({{C}_{m}})\) luôn đi qua hai điểm cố định \(A,\,B.\) Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) thuộc đoạn \(\left[ -2020;2020 \right]\) để \(({{C}_{m}})\) có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(AB\)?

Hàm số được viết lại thành \(\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)m+{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1-y=0.\)

Một điểm \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) là điểm cố định của đồ thị hàm số thì phương trình \(\left( x_{0}^{2}-3x_{0}^{{}}+2 \right)m+x_{0}^{3}-x_{0}^{2}+1-{{y}_{0}}=0\) phải nghiệm đúng với mọi \(m,\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} x_0^2 - 3{x_0} + 2 = 0\\ x_0^3 - x_0^2 + 1 - {y_0} = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 1;{y_0} = 1\\ {x_0} = 2;{y_0} = 5 \end{array} \right..\)

Giả sử \(A\left( 1;1 \right),B\left( 2;5 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 1;4 \right)\) khi đó hệ số góc của đường thẳng \(AB\) là \(k=4.\)

Đặt \(f\left( x \right)={{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}-3mx+2m+1\)

Để trên đồ thị hàm số có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng \(AB\) thì hệ số góc tại tiếp điểm phải bằng \(k'=-\frac{1}{4}.\) Điều đó xảy ra khi và chỉ khi \(f'\left( x \right)=-\frac{1}{4}\) có nghiệm.

Ta có \(f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-3m.\)

Phương trình \(f'\left( x \right)=-\frac{1}{4}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-3m=-\frac{1}{4}\left( 1 \right).\)

Phương trình (1) có nghiệm khi \(\Delta '\ge 0\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;\frac{-7-4\sqrt{3}}{2} \right]\cup \left[ \frac{-7+4\sqrt{3}}{2};+\infty  \right).\)

Với \(\frac{-7+4\sqrt{3}}{2}\approx -0,03\) nên các số nguyên dương \(m\in \left[ -2020;2020 \right]\) là \(\left\{ 1;2;3;...;2020 \right\}.\)

Vậy có 2020 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.