Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm

Phương trình \(f\left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt {3 - x} } \right) = f\left( {\sqrt {\left| m \right| + 1} } \right)\) (1). Điều kiện: \(x \in \left[ { - 1;3} \right]\).

Đặt \(t = \sqrt {1 + x} - \sqrt {3 - x} \)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {1 + x} - \sqrt {3 - x} ,\,\,\,x \in \left[ { - 1;3} \right]\).

Ta có: \(g'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} + \frac{1}{{2\sqrt {3 - x} }} > 0,\,\,\forall x \in \left( { - 1;3} \right)\)

⇒ g(x) đồng biến trên khoảng (-1;3)

Do đó, khi \(x \in \left[ { - 1;3} \right] \Rightarrow t \in \left[ {g\left( { - 1} \right);g\left( 3 \right)} \right]\) hay \(t \in \left[ { - 2;2} \right]\).

+) Phương trình (1) trở thành \(f\left( t \right) = f\left( {\sqrt {\left| m \right| + 1} } \right)\,\,\,\left( 2 \right)\)

Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm \(t \in \left[ { - 2;2} \right]\)

⇔ đường thẳng \(y = f\left( {\sqrt {\left| m \right| + 1} } \right)\,\,\) cắt đồ thị hàm số y = f(t) tại ít nhất một điểm có hoành độ thuộc [-2;2].

+) Ta có bảng biến thiên của f(t) trên đoạn [-2;2]

Suy ra phương trình (1) có nghiệm ⇔ \(0 \le f\left( {\sqrt {\left| m \right| + 1} } \right) \le 4\)

\( \Leftrightarrow - 2 \le \sqrt {\left| m \right| + 1} \le 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| m \right| + 1 \le 4\\ \Leftrightarrow - 3 \le m \le 3 \end{array}\)

Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.