Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\). Biết rằng đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ là \(-1,\,\frac{1}{3},\,\frac{1}{2}\). Hỏi phương trình \(f\left[ \sin \left( {{x}^{2}} \right) \right]=f\left( 0 \right)\) có bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ -\sqrt{\pi };\sqrt{\pi } \right]\).

Vì đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc 3

\(\Rightarrow a\ne 0.\)

Từ giả thiết ta có: \(f\left( x \right)=a\left( x+1 \right)\left( x-\frac{1}{3} \right)\left( x-\frac{1}{2} \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=\frac{1}{6}a\left( 6{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-4x+1 \right).\)

Khi đó: \(y'=\frac{1}{6}a\left( 18{{x}^{2}}+2x-4 \right)=0\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{73}}{18}\)

Suy ra đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục tung.

Từ đó ta có phương trình \(f\left[ {\sin \left( {{x^2}} \right)} \right] = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin \left( {{x^2}} \right) = {a_1} \in \left( { - 1;0} \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\\ \sin \left( {{x^2}} \right) = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\\ \sin \left( {{x^2}} \right) = {a_2} \in \left( {\frac{1}{2};1} \right]{\rm{ }}\left( 3 \right) \end{array} \right.\)

* Giải \(\left( 1 \right).\)

Vì \(x\in \left[ -\sqrt{\pi };\sqrt{\pi } \right]\) nên \({{x}^{2}}\in \left[ 0;\pi  \right]\Rightarrow \sin \left( {{x}^{2}} \right)\in \left[ 0;1 \right].\) Do đó phương trình \(\left( 1 \right)\) không có nghiệm thỏa mãn đề bài.

* \(\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}=k\pi .\)

Vì \({{x}^{2}}\in \left[ 0;\pi  \right]\) nên ta phải có \(0\le k\pi \le k,\pi \in \mathbb{Z}\Leftrightarrow 0\le k\le 1,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k\in \left\{ 0;1 \right\}.\)

Suy ra phương trình \(\left( 2 \right)\) có 3 nghiệm thỏa mãn là: \({{x}_{1}}=-\sqrt{\pi };{{x}_{2}}=0;{{x}_{3}}=\sqrt{\pi }.\)

* \(\left( 3 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}=\arcsin {{a}_{2}}+k2\pi \\ & {{x}^{2}}=\pi -\arcsin {{a}_{2}}+k2\pi \\ \end{align} \right., (với \ \arcsin {{a}_{2}}\in \left[ \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2} \right]).\)

Vì \({{x}^{2}}\in \left[ 0;\pi  \right]\) nên ta thấy phương trình \(\left( 3 \right)\) có các nghiệm thỏa mãn là \(x=\pm \sqrt{\arcsin {{a}_{2}}}\) và \(x=\pm \sqrt{\pi -\arcsin {{a}_{2}}}.\)

Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.