-
Câu hỏi:
Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\tan x.f({{\cos }^2}x)dx} = \int\limits_1^8 {\frac{{f(\sqrt[3]{x})}}{x}dx} = 6\). Tính tích phân \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\sqrt 2 } {\frac{{f({x^2})}}{x}dx} \)
- A. 4
- B. 6
- C. 7
- D. 10
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: C
+) Đặt \(t = \sqrt[3]{x} \Rightarrow {t^3} = x \Rightarrow 3{t^2}dt = dx\)
Đổi cận:
Khi đó \(\int\limits_1^8 {\frac{{f(\sqrt[3]{x})}}{x}dx} = \int\limits_1^2 {\frac{{f(t)}}{{{t^3}}}3{t^2}dt} = 3\int\limits_1^2 {\frac{{f(t)}}{t}dt} = 6 \Rightarrow \int\limits_1^2 {\frac{{f(t)}}{t}dt} = 2\)
+) Đặt \(t = {\cos ^2}x \Rightarrow dt = - 2\cos x\sin xdx \Rightarrow dt = - 2{\cos ^2}x\tan xdx \Rightarrow \tan xdx = - \frac{1}{{2t}}dt\)
Đổi cận:
Khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\tan x.f({{\cos }^2}x)dx} = - \frac{1}{2}\int\limits_1^{\frac{1}{4}} {\frac{{f(t)}}{t}dt} = 6 \Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{4}}^1 {\frac{{f(t)}}{t}dt} = 12\)
+) Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow dt = 2{x^2}\frac{{dx}}{x} \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = \frac{1}{2}\frac{{dt}}{t}\)
Đổi cận:
Khi đó \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\sqrt 2 } {\frac{{f({x^2})}}{x}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {\frac{{f(t)}}{t}dt} = \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{1}{4}}^1 {\frac{{f(t)}}{t}dt + \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{f(t)}}{t}dt} } = \frac{{2 + 12}}{2} = 7\)
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng
CÂU HỎI KHÁC
- Cho số thực a dương, khác 1. Rút gọn biểu thức ta được kết quả là
- Cho khối trụ có chiều cao h = 3 và bán kính đáy r = 1. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
- Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên dưới đây. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng bao nhiêu?
- Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ sau?
- Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau đây (y = frac{{x - 2}}{{1 - x}}) là
- Nghiệm nguyên âm lớn nhất của bất phương trình \({\log _7}\left( {3 - 2x} \right) > 1\) là
- Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm của phương trình f(x) + 17 = 0 là:
- Môđun của số phức z = 1 - 2i bằng
- Cho các số phức \({z_1} = 2 + 3i\,,\,{z_2} = 4 - i\). Số phức liên hợp của số phức \({z_1} + {z_2}\) là
- Cho số phức z = 1 - 3i. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức là điểm nào dưới đây?
- Trong không gian Oxyz, cho . Tọa độ vectơ là:
- Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(-1;4;2) và có bán kính R = 5 có phương trình là:
- Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng . Vectơ nào dưới đây không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đã cho?
- Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng và đường thẳng . Tọa độ giao điểm của (P) và d là điểm nào dưới đây?
- Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, (minh họa như hình vẽ). M là trung điểm của BC, góc giữa đường thẳng A'M và mặt phẳng (ABC) bằng
- Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đạo hàm . Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) là
- Cho hàm số . Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1;1] bằng 7.
- Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\). Tính f'(1)?
- Gọi S là tập hợp các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y = 1. Tổng các phần tử của S là
- Cho hàm số Mệnh đề nào sau đây đúng?
- Trong không gian cho tam giác ABC đều cạnh 2a, gọi H là trung điểm của cạnh BC. Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh AH ta được một hình nón có diện tích toàn phần bằng
- Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần, khi đó:
- Cho đồ thị y = f(x) như hình vẽ sau đây. Diện tích S của hình phẳng được gạch chéo trong hình dưới dây bằng
- Cho hai số phức z = 2 - 3i và w = 1 + i. Môđun của số phức bằng
- Cho phương trình với . Biết phương trình nhận một nghiệm phức là Khi đó b - c bằng
- Trong không gian Oxyz đường thẳng đi qua A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình là
- Trong không gian Oxy, cho mặt cầu và hai điểm M(1;1;-3), N(-1;0;2). Biết là mặt phẳng đi qua hai điểm M, N và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn lớn. Phương trình mặt phẳng (S) là
- Thầy giáo tặng hết 5 quyển sách tham khảo khác nhau cho ba học sinh giỏi luyện tập. Số cách tặng để mỗi học sinh nhận được ít nhất một quyển sách là
- Cho hình chóp S.ABC biết , SA = a. Tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a. M là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AB bằng
- Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) là
- Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 3% một quý theo hình thức lãi kép (một quý bằng 3 tháng).
- Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
- Cho hình nón đỉnh S đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho tam giác OAB là tam giác vuông. Biết và Thể tích khối nón là
- Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn , thỏa mãn , biết và . Tính tích phân bằng
- Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thuộc của phương trình là
- Cho x và y là những số thực không âm thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của biểu thức T = x + y thuộc tập nào dưới đây ?
- Gọi S là các tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;3] bằng 8. Tổng các số nguyên m bằng
- Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Biết vuông góc với đáy. Góc A'A tạo với đáy một góc bằng 60o. Góc giữa hai mặt phẳng (ABB'A') và (ACC'A') bằng 30o.
- Cho số nguyên a, số thực b. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của a để tồn tại số thực x thỏa mãn và . Tổng các phần tử của tập S là
- Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh a. Gọi M là trung điểm của CD và N là trung điểm của A'D'. Góc giữa hai đường thẳng B'M và C'N bằng
- Cho Nếu thì giá trị của biểu thức A là
- Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1, x2 thỏa mãn bằng:
- Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = 3, AD = 2. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
- Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn . Giá trị của tích phân là
- Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC.
- Cho các số thực a, b > 1 thỏa mãn giá trị của biểu thức là
- Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Gọi I là trung điểm của AC. Biết hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (SAB) là điểm H thoả mãn và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60o. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
- Cho x, y thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của khi x, y thay đổi.
- Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm?
- Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\tan x.f({{\cos }^2}x)dx} = \int\limits_1^8 {\frac{{f(\sqrt[3]{x})}}{x}dx} = 6\). Tính tích phân \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\sqrt 2 } {\frac{{f({x^2})}}{x}dx} \)
