Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {4x + 1} - 1}}{{a{x^2} + \left( {2a + 1} \right)x}}\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \ne 0\\3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x = 0\end{array} \right.$. Biết $a$ là giá trị để hàm số liên tục tại ${x_0} = 0,$ tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình ${x^2} - x + 36a < 0$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {4x + 1}  - 1}}{{a{x^2} + \left( {2a + 1} \right)x}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{4x}}{{x\left( {ax + 2a + 1} \right)\left( {\sqrt {4x + 1}  + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{4}{{\left( {ax + 2a + 1} \right)\left( {\sqrt {4x + 1}  + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{{2a + 1}}\\f\left( 0 \right) = 3\end{array}$

+ Nếu $a =  - \dfrac{1}{2}$ thì không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)$, do đó hàm số không liên tục tại $x = 0$.

+ Nếu $a \ne  - \dfrac{1}{2}$

Để hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0} = 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \dfrac{2}{{2a + 1}} = 3 \Leftrightarrow a =  - \dfrac{1}{6}$.

Khi đó ta có: ${x^2} - x + 36a < 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 < 0 \Leftrightarrow  - 2 < x < 3$.

Mà $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}$.

Vậy bất phương trình ${x^2} - x + 36a < 0$ có 4 nghiệm nguyên.

Chọn A.