Cho \(\Delta ABC\) cân tại A (góc A  nhọn). Tia phân giác góc của A cắt BC tại I.a. Chứng minh \(AI\bot BC\).b.

a) Chứng minh \(AI\bot BC\)

Chứng minh \(\Delta AIB = \Delta AIC\)

Xét \(\Delta AIB\) và \(\Delta AIC\), ta có :

    \(\widehat B = \widehat C\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

    AB = AC (\(\Delta ABC\) cân tại A)

    \(\widehat {BAI} = \widehat {CAI}\) (AI là tia phân giác góc A)

\( \Rightarrow \Delta AIB = \Delta AIC\,\,\left( {g - c - g} \right)\)

Suy ra \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{I_2}}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {{I_1}} + \widehat {{I_2}} = {180^0}\) (hai góc kề bù). Do đó \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{I_2}} = {90^0}\)

Suy ra \(AI\bot BC\) (đpcm)

b) Ta có  MA = MB => CM là đường trung tuyến ứng với cạnh AB.

Trong tam giác cân ABC (cân tại A), AI là đường phân giác ứng với đáy BC => AI cũng là đường trung tuyến

=> G là giao của AI và CM nên G là trọng tâm của \(\Delta ABC\) (Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác) => BG là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\).    

c) Trong \(\Delta\) cân ABC (Cân tại A), AI là phân giác cũng là trung tuyến

\( \Rightarrow IB = IC = \frac{1}{2}BC \Rightarrow IB = IC = 9\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào \(\Delta\) vuông AIB, ta có:

  AI² = AB² – IB² = 15² – 9² = 144 => AI = 12 (cm)

G là trọng tâm của tam giác ABC \( \Rightarrow GI = \frac{1}{3}AI = \frac{1}{3}.12 = 4\left( {cm} \right)\)