Biết \(AC = a,\,\,CD = \dfrac{a}{2},\,\,SA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng:

Câu hỏi:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(C\) và \(D\), \(\angle ABC = {30^0}\). Biết \(AC = a,\,\,CD = \dfrac{a}{2},\,\,SA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng:
- A. \(a\sqrt 6 \)
- B. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
- C. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\)
- D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: B

Kẻ \(AE \bot BC\,\,\left( {E \in BC} \right)\) ta có:

\(AD = \sqrt {A{C^2} - C{D^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = CE\)

\(BE = AE.\cot {30^0} = \dfrac{a}{2}.\sqrt 3 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow E\) là trung điểm của BC

\( \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {E;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\)

Trong \(\left( {SAD} \right)\) kẻ \(AH \bot SD\,\,\left( {H \in SD} \right)\) ta có :

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot CD\\AH \bot SD\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = AH\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAD\) ta có :

\(AH = \dfrac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

Vậy \(d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Chọn B.

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ATNETWORK