1.giải hệ phương trình

1. Điều kiện xác định: \(x \ne 2;y \ge  - 1\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x - 2}} = u\\
\sqrt {y + 1}  = v
\end{array} \right.\) với \(v \ge 0\)  ta thu được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
2u - v = 0\\
3u - 2v =  - 1
\end{array} \right.\)

Giải hệ ta được u = 1;v = 2

Từ đó suy ra được x = 3;y = 3

2a) Học sinh tự vẽ

Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là nghiệm của phương trình: \({x^2} =  - x + 6 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 3 \Rightarrow y = 9\\
x = 2 \Rightarrow y = 4
\end{array} \right.\)  

Tọa đô giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là \(\left( { - 3;9} \right);\left( {2;4} \right)\) 

2b) 

Gọi điểm M  thuộc parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) suy ra \(M\left( {m,{m^2}} \right)\)

Dùng Pitago tính được \(I{M^2} = {m^2} + {\left( {{m^2} - 1} \right)^2} = {m^4} - {m^2} + 1\) 

\(IM = \sqrt {{m^4} - {m^2} + 1}  = \sqrt {{{\left( {{m^2} - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}  \ge \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Ta thấy IM nhỏ nhất bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) khi \(m =  \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) 

Hay \(M\left( { \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{1}{2}} \right)\)