Chứng mịnh các tổng và hiệu sau chia hết cho 10 481^n+1999^1999

a) 481 tận cùng là 1 nên lũy thừa bậc n (n tự nhiên) luôn có tận cùng bằng 1.
nhận thấy 9 lũy thừa chẵn luôn có tận cùng là 1 và lũy thừa lẻ luôn có tận cùng là 9.
Vậy tổng trên tận cùng bằng 0 nên luôn chia hết cho 10.
b) Ta có: \(16^{2001}\) luôn có tận cùng bằng 6.
Và \({8^{2000}} = {64^{1000}} = {4096^{500}}\) cũng có tận cùng bằng 6 (số có tận cùng bằng 6 thì lũy thừa bao nhiêu cũng có tận cùng bằng 6)
Vậy hiệu trên có tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10.
c) Tương tự câu a, 19 lũy thừa lẻ luôn có tận cùng bằng 9
11 lũy thừa bao nhiêu cũng có tận cùng là 1
Vậy tổng trên tận cùng bằng 0 nên luôn chia hết cho 10.
d) Trước hết, ta cần chứng minh bổ đề: mọi số tự nhiên lũy thừa 5 khi trừ cho số ấy đều chia hết cho 10.
\(\begin{array}{l} {a^5} - a \equiv 0\left( {mo{\rm{d}}10} \right)\\ \left( {a - 1} \right).a.\left( {a + 1} \right).\left( {{a^2} + 1} \right) \equiv 0\left( {mo{\rm{d}}5} \right) \end{array}\)
Xét các trường hợp đó là \(\left[ \begin{array}{l} a = 5k \pm 1\\ a = 5k \pm 2 \end{array} \right.\) đều thỏa.
Vậy \(17^5\) có tận cùng bằng 7.
\(24^4=576^2\) nên có tận cùng bằng 6.
Xét \(13^{21}={13^3}^7\) ta có:
\(13^3\) có tận cùng bằng 7. (vì \(3^3=27\))
nên đặt số trên là \({\left( {\overline {a7} } \right)^7}\)
Nhận thấy: \({\left( {\overline {a7} } \right)^7} = {\left( {\overline {a7} } \right)^5}.{\left( {\overline {a7} } \right)^2}\)
Mà \({\left( {\overline {a7} } \right)^5}\) có tận cùng bằng 7 (cmt)

\({\left( {\overline {a7} } \right)^2}\)có tận cùng bằng 9 (\(7^2=49\))
Nên \({\left( {\overline {a7} } \right)^7}\) có tận cùng bằng 3 (vì \(9.7=63\))
Vậy tổng trên tận cùng bằng 0 nên luôn chia hết cho 10.

Done đẹp zai 
 

có chia hết cho 10