Phương pháp tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản

Phương pháp:

- Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.

- Khi tìm lim\(\frac{f(n)}{g(n)}\) ta thường chia cả tử và mẫu cho n^k, trong đó k là bậc lớn nhất của tử và mẫu.

- Khi tìm \(\lim \left[ {\sqrt[k]{{f(n)}} - \sqrt[m]{{g(n)}}} \right]\) trong đó \(\lim f(n) = \lim g(n) =  + \infty \) ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn.

  + Dùng các hằng đẳng thức:

\(\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right) = a - b\)

\(\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right) = a - b\)

- Dùng định lí kẹp: Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n},\forall {v_n} = 0\) và  lim v_n = 0 thì lim u_n = 0

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:

- Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.

- Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.

- Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là \(+ \infty \) nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là \(- \infty \) nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.

Ví dụ 1. Cho dãy số (u_n) với \({u_n} = \frac{{4{n^2} + n + 2}}{{a{n^2} + 5}}\), trong đó a là tham số. Để (un) có giới hạn bằng 2 thì giá trị của tham số a là?

A. -4.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Dễ thấy với a = 2 thì \(lim {u_n} = \frac{{4{n^2} + n + 2}}{{2{n^2} + 5}} = 2\).

Thật vậy:

Nếu a = 0 thì \(\lim {u_n} = \frac{{4{n^2} + n + 2}}{5} =  + \infty \).

Nếu a khác 0 thì \(\lim {u_n} = \frac{{4{n^2} + n + 2}}{{a{n^2} + 5}} = \frac{4}{a}\).

Do đó để limu_n = 2 thì \(\frac{4}{a} = 2 \Leftrightarrow a = 2\).

Ví dụ 2. Tìm hệ thức liên hệ giữa các số thực dương a và b để: \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + an + 5}  - \sqrt {{n^2} + bn + 3} } \right) = 2\).

A. a + b = 2.

B. a - b = 2.

C. a + b = 4.

D. a - b = 4.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Từ kết quả đã trình bày trong phần ví dụ, ta thấy cần phải nhân chia với biểu thức liên hợp. Ta có:

\(\begin{array}{l} \sqrt {{n^2} + an + 5} - \sqrt {{n^2} + bn + 3} \\ = \frac{{\left( {a - b} \right)n + 2}}{{\sqrt {{n^2} + an + 5} + \sqrt {{n^2} + bn + 3} }}\\ = \frac{{a - b + \frac{2}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{a}{n} + \frac{5}{{{n^2}}}} + \sqrt {1 + \frac{b}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} }} \end{array}\)

Suy ra \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + an + 5}  - \sqrt {{n^2} + bn + 3} } \right) = \frac{{a - b}}{2}\). Do đó để

\(\begin{array}{l} \lim \left( {\sqrt {{n^2} + an + 5} - \sqrt {{n^2} + bn + 3} } \right) = 2\\ \Leftrightarrow \frac{{a - b}}{2} = 2 \Leftrightarrow a - b = 4 \end{array}\)

Ví dụ 3. Tìm các số thực a và b sao cho \(\lim \left( {\sqrt[3]{{1 - {n^3}}} - an - b} \right) = 0\).

A. a = -1; b = 0.

B. a = 1; b = 0.

C. a = -1; b = -1.

D. a = 0; b = 1.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có \(\lim \left( {\sqrt[3]{{1 - {n^3}}} - an - b} \right) = 0 \Leftrightarrow b = \lim \left( {\sqrt[3]{{1 - {n^3}}} - an} \right)\)

Để \(\left( {\sqrt[3]{{1 - {n^3}}} - an} \right)\) hữu hạn thì a > 0

Ta có \(\left( {\sqrt[3]{{1 - {n^3}}} + n} \right) = 0\). Vậy b = 0.

Câu 1. Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=2 \\ & {{u}_{n+1}}=\frac{{{u}_{n}}+\sqrt{2}-1}{1-\left( \sqrt{2}-1 \right){{u}_{n}}} \\ \end{align} \right.,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.\) Tính \({{u}_{2018}}\).

A. \({{u}_{2018}}=7+5\sqrt{2}\)

B. \({{u}_{2018}}=2\)

C. \({{u}_{2018}}=7-5\sqrt{2}\)

D. \({{u}_{2018}}=7+\sqrt{2}\)

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Câu 2. Cho dãy số \(({{x}_{n}})\) xác định bởi \({{x}_{1}}=\frac{1}{2},{{x}_{n+1}}=x_{n}^{2}+{{x}_{n}},\forall n\ge 1\)

Đặt \({{S}_{n}}=\frac{1}{{{x}_{1}}+1}+\frac{1}{{{x}_{2}}+1}+\cdots +\frac{1}{{{x}_{n}}+1}\). Tính \(\lim {{S}_{n}}\).

A. \(+\infty \)

B. \(-\infty\)

C. 2

D. 1

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Từ công thức truy hồi ta có: \({{x}_{n+1}}>{{x}_{n}},\text{ }\forall n=1,2,...\)

Nên dãy \(({{x}_{n}})\) là dãy số tăng.

Giả sử dãy \(({{x}_{n}})\) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại \(\lim {{x}_{n}}=x\)

Với x là nghiệm của phương trình: \(x={{x}^{2}}+x\Leftrightarrow x=0<{{x}_{1}}\) vô lí

Do đó dãy \(({{x}_{n}})\) không bị chặn, hay \(\lim {{x}_{n}}=+\infty \).

Mặt khác: \(\frac{1}{{{x}_{n+1}}}=\frac{1}{{{x}_{n}}({{x}_{n}}+1)}=\frac{1}{{{x}_{n}}}-\frac{1}{{{x}_{n}}+1}\)

Suy ra: \(\frac{1}{{{x}_{n}}+1}=\frac{1}{{{x}_{n}}}-\frac{1}{{{x}_{n+1}}}\)

Dẫn tới: \({{S}_{n}}=\frac{1}{{{x}_{1}}}-\frac{1}{{{x}_{n+1}}}=2-\frac{1}{{{x}_{n+1}}}\Rightarrow \lim {{S}_{n}}=2-\lim \frac{1}{{{x}_{n+1}}}=2\)

Câu 3. Cho dãy \(({{x}_{k}})\) được xác định như sau: \({{x}_{k}}=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+...+\frac{k}{(k+1)!}\)

Tìm \(\lim {{u}_{n}}\) với \({{u}_{n}}=\sqrt[n]{x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+...+x_{2011}^{n}}\).

A. \(+\infty \)

B. \(-\infty \)

C. \(1-\frac{1}{2012!}\)

D. \(1+\frac{1}{2012!}\)

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có: \(\frac{k}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}\) nên \({{x}_{k}}=1-\frac{1}{(k+1)!}\)

Suy ra \({{x}_{k}}-{{x}_{k+1}}=\frac{1}{(k+2)!}-\frac{1}{(k+1)!}<0\Rightarrow {{x}_{k}}<{{x}_{k+1}}\)

Mà: \({{x}_{2011}}<\sqrt[n]{x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+...+x_{2011}^{n}}<\sqrt[n]{2011}{{x}_{2011}}\)

Mặt khác: \(\lim {{x}_{2011}}=\lim \sqrt[n]{2011}{{x}_{2011}}={{x}_{2011}}=1-\frac{1}{2012!}\)

Vậy \(\lim {{u}_{n}}=1-\frac{1}{2012!}\).

Câu 4. Cho dãy \(({{x}_{k}})\) được xác định như sau: \({{x}_{k}}=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+...+\frac{k}{(k+1)!}\).

Tìm \(\lim {{u}_{n}}\) với \({{u}_{n}}=\sqrt[n]{x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+...+x_{2011}^{n}}\).

A. \(+\infty \)

B. \(-\infty \)

C. \(1-\frac{1}{2012!}\)

D. \(1+\frac{1}{2012!}\)

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có: \(\frac{k}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}\) nên \({{x}_{k}}=1-\frac{1}{(k+1)!}\).

Suy ra \({{x}_{k}}-{{x}_{k+1}}=\frac{1}{(k+2)!}-\frac{1}{(k+1)!}<0\Rightarrow {{x}_{k}}<{{x}_{k+1}}\).

Mà: \({{x}_{2011}}<\sqrt[n]{x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+...+x_{2011}^{n}}<\sqrt[n]{2011}{{x}_{2011}}\).

Mặt khác: \(\lim {{x}_{2011}}=\lim \sqrt[n]{2011}{{x}_{2011}}={{x}_{2011}}=1-\frac{1}{2012!}\).

Vậy \(\lim {{u}_{n}}=1-\frac{1}{2012!}\).

Câu 5. Cho hàm số \(f\left( n \right)=a\sqrt{n+1}+b\sqrt{n+2}+c\sqrt{n+3}\left( n\in {{\mathbb{N}}^*} \right)\) với \({a,b,c}\) là hằng số thỏa mãn a+b+c=0. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\,f\left( n \right)=-1\)

B. \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\,f\left( n \right)=1\)

C. \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\,f\left( n \right)=0\)

D. \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\,f\left( n \right)=2\)

Hướng dẫn giải

Chọn C

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!