Giải Toán 11 SGK nâng cao Ôn tập Chương 2 Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung

b. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau

c. Hai đường thẳng chéo nhau thì không cùng thuộc một mặt phẳng

d. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau

Hướng dẫn giải:

a. Đúng

b. Sai: có thể a // b

c. Đúng

d. Sai: có thể a cắt b

---

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

a. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau

b. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau

c. Hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau

d.Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau

e. Một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cắt đường thẳng còn lại

f. Một mặt phẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cắt đường thẳng còn lại

g. Một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại

Hướng dẫn giải:

a. Sai: có thể a cắt b hoặc a chéo b

b. Sai: có thể (α) và (β) cắt nhau

c. Đúng

d. Đúng

e. Sai: có thể cắt đường thứ nhất chéo nhau với đường thứ hai

f. Đúng

g. Đúng

---

Hướng dẫn giải:

Các hình a, b, d, f, g, h

---

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, ta có AO là trung tuyến và \(\frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{2AM}}{{AC}} = \frac{2}{3}\)

=> M là trọng tâm của tam giác ABD , tương tự N là trọng tâm tam giác ABE

Gọi I là trung điểm của AB thì M, N lần lượt trên DI và EI

Trong tam giác IDE ta có: \(\frac{{IM}}{{ID}} = \frac{{IN}}{{IE}} = \frac{1}{3}\) nên MN // DE và \(MN = \frac{1}{3}DE\)

Câu b:

Trong ∆FAB: NN₁ // AB \( \Rightarrow \frac{{A{N_1}}}{{AF}} = \frac{{BN}}{{BF}} = \frac{1}{3}\)

Trong ∆DAB: MM₁ // AB \( \Rightarrow \frac{{A{M_1}}}{{AD}} = \frac{{DM}}{{DI}} = \frac{1}{3}\)

Do đó \(\frac{{A{N_1}}}{{AF}} = \frac{{A{M_1}}}{{AD}}\) nên M₁N₁ // DF

Mà DF ⊂ (DEF) suy ra M₁N₁ // mp(DEF)

Câu c:

Ta có : M₁N₁ // DF, NN₁ // EF

mà M₁N₁ và NN₁ cắt nhau và nằm trong mp(MNN₁M₁), còn DF và EF cắt nhau và nằm trong mp(DEF)

Vậy mp(MNN₁M₁) // mp(DEF)

---

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh AA’, BB’, CC, GG’ lần lượt tại A₁, B₁, C₁ và G₁. Chứng minh rằng:

a. GG’ song song và bằng cạnh bên của hình lăng trụ

b. G₁ là trọng tâm của tam giác A₁B₁C₁

c. \({G_1}G' = \frac{1}{3}\left( {{A_1}A' + {B_1}B' + {C_1}C'} \right);{G_1}G = \frac{1}{3}({A_1}A + {B_1}B + {C_1}C)\) 

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Gọi I, I’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B’C’ thì rõ ràng II' song song và bằng AA’ nên tứ giác AII’A’ là hình bình hành, do đó AI song song và bằng A’I’

Ta cũng có \(AG = \frac{2}{3}AI,A\prime G\prime  = \frac{2}{3}A\prime I\prime \), mà AI = A’I’ suy ra AG song song và bằng A’G’

Vậy tứ giác AGG’A’ là hình bình hành

Do đó, GG’ song song và bằng AA’

Câu b:

B₁C₁ cắt II’ tại I₁ thì I₁ là trung điểm của B₁C₁

Vì G₁ thuộc A₁I₁ và AA₁ // GG₁ // II₁ nên \(\frac{{{G_1}{A_1}}}{{{A_1}{I_1}}} = \frac{{GA}}{{AI}} = \frac{2}{3}\)

Vậy G₁ là trọng tâm tam giác A₁B₁C₁

Câu c:

Xét hình bình hành AII’A’. Gọi L, L’ lần lượt là trung điểm của AG và A’G’, L₁ là giao điểm của LL’ và A₁I₁

Khi đó L₁ là trung điểm của A₁G₁

Theo định lí về đường trung bình của hình thang ta có :

\(2{G_1}G\prime  = {L_1}L\prime  + {I_1}I\prime  = \frac{1}{2}({A_1}A\prime  + {G_1}G\prime ) + {I_1}I\prime \)

Suy ra: \({G_1}G\prime  = \frac{1}{3}({A_1}A\prime  + 2{I_1}I\prime )\)

Mặt khác: 2I₁I’ = B₁B’ + C₁C’

Vậy: \({G_1}G\prime  = \frac{1}{3}({A_1}A\prime  + {B_1}B\prime  + {C_1}C\prime )\)

Chứng minh tương tự ta có: \({G_1}G = \frac{1}{3}({A_1}A + {B_1}B + {C_1}C)\)

---

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Vẽ thiết diện của hình hộp tạo bởi mặt phẳng đi qua hai trung điểm M, N của các cạnh AB, AD và tâm O của mặt CDD’C’

Hướng dẫn giải:

Gọi I và J lần lượt là các giao điểm của đường thẳng MN với BC và CD

Gọi P, Q lần lượt là các giao điểm của đường thẳng JO với các cạnh DD’, CC’

Gọi R là giao của BB’ và đường thẳng IQ. Ta có:

(MNO) ∩ (ABCD) = MN

(MNO) ∩ (CDD’C’) = PQ

(MNO) ∩ (ADD’A’) = NP

(MNO) ∩ (BCC’B’) = RQ

(MNO) ∩ (ABB’A’) = MR

Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác MNPQR

---

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên ba cạnh AB, DD’, C’B’ lần lượt lấy ba điểm M, N, P không trùng với các đỉnh sao cho \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{D\prime N}}{{D\prime D}} = \frac{{B\prime P}}{{B\prime C\prime }}\)

a. Chứng minh rằng mp(MNP) và mp(AB'D’) song song với nhau

b. Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mp(MNP)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Kẻ ME song song với AB’ (E ∈ BB’) (1)

Ta có: \(\frac{{B\prime E}}{{B\prime B}} = \frac{{AM}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{B\prime E}}{{B\prime B}} = \frac{{B\prime P}}{{B\prime C\prime }}\)

=> EP // BC’ =>⇒EP // AD’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra (MEP) // (AB’D’) (3)

Rõ ràng D’N = B’E nên  EN // B’D’

Mà B’D’ ⊂ (AB’D’) và E ∈ (MEP) nên từ (3) suy ra EN ⊂ (MEP), tức (MNP) chính là (MEP)

Vậy (MNP) // (AB’D’)

Câu b:

Từ M kẻ ME song song với AB’, từ P kẻ PF song song với B’D’. Từ N kẻ NK song song với AD’ cắt AD tại K

Thiết diện là lục giác MEPFNK có các cạnh đối song song

---

Cho hai tia Ax và By nằm trên hai đường thẳng chéo nhau. Một điểm M chạy trên Ax và một điểm N chạy trên By sao cho AM = kBN (k > 0 cho trước)

a. Chứng minh rằng MN song song với một mặt phẳng cố định

b. Tìm tập hợp các điểm I thuộc đoạn MN sao cho IM = kIN

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Dựng tia Bz song song và cùng hướng với tia Ax. Trên các tia Ax, By và Bz lần lượt lấy các điểm cố định M₀, N₀ và M’₀ sao cho \(\frac{{A{M_0}}}{{B{N_0}}} = k\) và BM′₀ = AM₀

Khi đó ta có : M₀M′₀ / / AB và \(\frac{{BM{'_0}}}{{B{N_0}}} = k\)  (1)

Lấy điểm M’ thuộc tia Bz sao cho BM’ = AM.

Từ (1) và (2) ta có : MM’ // M₀M’₀ (3)

Và \(\frac{{BM}}{{BN}} = \frac{{BM{'_0}}}{{B{N_0}}}\) (4)

Từ (4) suy ra NM’ // N0M’0  (5)

Từ (3) và (5) suy ra mp(MNM’) // mp(M₀N₀M’₀).

Vậy MN luôn song song với mặt phẳng cố định (M₀N₀M’₀)

Câu b:

* Chiều thuận.

Gọi O là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho OA : OB = k. Từ O ta vẽ hai tia Ox’ và Oy’ sao cho Ox’ // Ax, Oy’ // By. Xét phép chiếu song song theo phương AB lên mp(Ox’, Oy’). Gọi M’, N’ lần lượt là hình chiếu của M và N theo phép chiếu này. Khi đó, giao điểm của MN và M’N’ chính là điểm I vì rõ ràng ta có :

\(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{M\prime M}}{{N\prime N}} = \frac{{OA}}{{OB}} = k\)

Trong tam giác M’ON’, ta có : \(\frac{{IM\prime }}{{IN\prime }} = k,\frac{{OM\prime }}{{ON\prime }} = \frac{{AM}}{{BN}} = k\)

Vậy \(\frac{{IM\prime }}{{IN\prime }} = \frac{{OM\prime }}{{ON\prime }} = k\). Từ đó suy ra I phải nằm trên tia phân giác Ot của góc x’Oy’.

* Chiều đảo.

Giả sử I là một điểm bất kì thuộc tia phân giác Ot của góc x’Oy’.

Gọi M’, N’ là những điểm lần lượt thuộc tia Ox’, tia Oy’ sao cho M’, I, N’ thẳng hàng và \(\frac{{IM\prime }}{{IN\prime }} = k\) (có thể tìm M’, N’ bằng cách dùng phép vị tự tâm I tỉ số -k trên mp(Ox’y’)). Gọi M, N lần lượt là những điểm thuộc các tia Ax, By sao cho AM = OM’, BN = ON’. Dễ thấy I, M, N thẳng hàng và IM : IN = k

 

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Hình học 11 Ôn tập Chương 2 được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 học tập thật tốt!