Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 4 Bài 3 Dãy số có giới hạn vô cực

Tìm giới hạn của các dãy số (u_n) với:

a) \({u_n} =  - 2{n^3} + 3n + 5\)

b) \({u_n} = \sqrt {3{n^4} + 5{n^3} - 7n} \)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \({u_n} = {n^3}\left( { - 2 + \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{5}{{{n^3}}}} \right)\)

Vì \(\lim {n^3} =  + \infty \) và \(\lim \left( { - 2 + \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{5}{{{n^3}}}} \right) =  - 2 < 0\) nên \(\lim {u_n} =  - \infty \)

Câu b:

Ta có \({u_n} = {n^2}\sqrt {3 + \frac{5}{n} - \frac{7}{{{n^3}}}} \)

Vì \(\lim {n^2} =  + \infty \) và \(\lim \sqrt {3 + \frac{5}{n} - \frac{7}{{{n^3}}}}  = \sqrt 3  > 0\) nên \(\lim {u_n} =  + \infty \)

---

Tìm giới hạn của các dãy số (un) với:

a) \({u_n} = \frac{{ - 2{n^3} + 3n - 2}}{{3n - 2}}\)

b) \({u_n} = \frac{{\sqrt[3]{{{n^5} - 7{n^3} - 5n + 8}}}}{{n + 12}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \({u_n} = \frac{{{n^3}\left( { - 2 + \frac{3}{{{n^2}}} - \frac{2}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {\frac{3}{{{n^2}}} - \frac{2}{{{n^3}}}} \right)}} = \frac{{ - 2 + \frac{3}{{{n^2}}} - \frac{2}{{{n^3}}}}}{{\frac{3}{{{n^2}}} - \frac{2}{{{n^3}}}}}\)

Vì \(\lim \left( { - 2 + \frac{3}{{{n^2}}} - \frac{2}{{{n^3}}}} \right) =  - 2 < 0,\lim \left( {\frac{3}{{{n^2}}} - \frac{2}{{{n^3}}}} \right) = 0\) nên \(\lim {u_n} =  - \infty \)

Câu b:

Chia tử và mẫu của phân thức cho n, ta được:

\({u_n} = \frac{{n\sqrt[3]{{1 - \frac{7}{{{n^3}}} - \frac{5}{{{n^5}}} + \frac{8}{{{n^6}}}}}}}{{1 + \frac{{12}}{n}}}\)

Vì \(\lim n\sqrt[3]{{1 - \frac{7}{{{n^3}}} - \frac{5}{{{n^5}}} + \frac{8}{{{n^6}}}}} =  + \infty ,\lim \left( {1 + \frac{{12}}{n}} \right) = 1 > 0\) nên \(\lim {u_n} =  + \infty \).

---

Tìm các giới hạn sau:

a.  \(lim (2n+\cos n)\)

b.  \(\lim \left( {\frac{1}{2}{n^2} - 3\sin 2n + 5} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
2n + \cos n = n\left( {2 + \frac{{\cos n}}{n}} \right)\\
\left| {\frac{{\cos n}}{n}} \right| \le \frac{1}{n},\lim \frac{1}{n} = 0 \Rightarrow \lim \frac{{\cos n}}{n} = 0
\end{array}\)

Do đó \(\lim \left( {2 + \frac{{\cos n}}{n}} \right) = 2 > 0\) và \(\lim n =  + \infty \)

Suy ra \(\lim \left( {2n + \cos n} \right) =  + \infty \)

Câu b:

\(\lim \left( {\frac{1}{2}{n^2} - 3\sin 2n + 5} \right) = \lim {n^2}\left( {\frac{1}{2} - \frac{{3\sin 2n}}{{{n^2}}} + \frac{5}{{{n^2}}}} \right) =  + \infty \)

(vì \(\lim {n^2} =  + \infty ,\lim \left( {\frac{1}{2} - \frac{{3\sin 2n}}{{{n^2}}} + \frac{5}{{{n^2}}}} \right) = \frac{1}{2} > 0\))

---

Chứng minh rằng nếu q > 1 thì \(\lim {q^n} =  + \infty \).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\lim {\left( {\frac{1}{q}} \right)^n} = 0\) (do q > 1) mà q > 0 nên \(\lim {q^n} =  + \infty \).

---

Tìm giới hạn của các dãy số (un) với:

a) \({u_n} = \frac{{{3^n} + 1}}{{{2^n} - 1}}\)

b) \({u_n} = {2^n} - {3^n}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Chia cả tử và mẫu cho 3ⁿ ta được: \({u_n} = \frac{{1 + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}\)

Vì \(\lim \left[ {1 + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}} \right] = 1 > 0,lim\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}} \right] = 0\) nên \(\lim {u_n} =  + \infty \)

Câu b:

Ta có \({u_n} = {3^n}\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - 1} \right]\)

Vì \(\lim {3^n} =  + \infty ,\lim \left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - 1} \right] =  - 1 < 0\) nên \(\lim {u_n} =  - \infty \)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 4 Bài 3 Dãy số có giới hạn vô cực với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.