Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 3 Bài 1 Vecto trong không gian. Sự đồng phẳng của các vecto

Ba vecto \(\vec a,\vec b,\vec c\) có đồng phẳng không nếu một trong hai điều sau đây xảy ra ?

a. Có một vecto trong ba vecto đó bằng \(\overrightarrow 0 \)

b. Có hai vecto trong ba vecto đó cùng phương.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Giả sử \(\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 \). Áp dụng định lí 1: \(\overrightarrow a  = 0.\overrightarrow b  + 0.\overrightarrow c \) nên \(\vec a,\vec b,\vec c\)  đồng phẳng.

Câu b:

Giả sử \(\vec a,\vec b\) cùng phương, khi đó có số k sao cho \(\vec a = k\vec b\)

=> \(\overrightarrow a  = k.\overrightarrow b  + 0.\overrightarrow c \) nên \(\vec a,\vec b,\vec c\)  đồng phẳng.

---

Cho hình chóp S.ABCD

a. Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC} \). Điều ngược lại có đúng không ?

b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 4\overrightarrow {SO} \)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC} \\
 \Leftrightarrow \overrightarrow {SB}  - \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SA}  - \overrightarrow {SD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {DA} 
\end{array}\)

<=> ABCD là hình bình hành

Câu b:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 4\overrightarrow {SO} \\
 \Leftrightarrow \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OD}  = 4\overrightarrow {SO} \\
 \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \,(*)
\end{array}\)

Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \) suy ra \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 4\overrightarrow {SO} \)

Ngược lại, giả sử \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 4\overrightarrow {SO} \) ta có (*)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD thì 

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = 2\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD}  = 2\overrightarrow {ON} \)

Từ (*) suy ra \(2\left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON} } \right) = \overrightarrow 0 \), suy ra O, M, N thẳng hàng.

Mặt khác, M thuộc AC, N thuộc BD và O là giao điểm của AC và BD nên O, M, N thẳng hàng chỉ xảy ra khi O ≡ M ≡ N, tức O là trung điểm AC và BD, hay ABCD là hình bình hành.

---

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’, I là giao điểm của hai đường thẳng AB’ và A’B. Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG’ song song với nhau.

Hướng dẫn giải:

Đặt \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow a ;\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b ;\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow c \) thì \(\overrightarrow {AG}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right),\overrightarrow {AI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\)

Do đó: \(\overrightarrow {GI}  = \overrightarrow {AI}  - \overrightarrow {AG}  = \frac{{3\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - 2\overrightarrow c }}{6}\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AG'}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB'}  + \overrightarrow {AC'} } \right) = \overrightarrow a  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)\\
 \Rightarrow \overrightarrow {CG'}  = \overrightarrow {AG'}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow a  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) - \overrightarrow c \\
 = \frac{{3\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - 2\overrightarrow c }}{3}
\end{array}\)

Vậy \(\overrightarrow {CG'}  = 2\overrightarrow {GI} \). Ngoài ra, điểm G không thuộc đường thẳng CG’ nên GI và CG’ là hai đường thẳng song song.

---

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD’; G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’. Chứng minh rằng đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.

Hướng dẫn giải:

Đặt \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ;\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow b ;\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow c \)

Vì G là trọng tâm tứ diện BCC'D nên ta có:

\(\overrightarrow {AG'}  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AC'}  + \overrightarrow {AD'} } \right)\)

Và G là trọng tâm tứ diện A’D’MN nên

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AG}  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AD'}  + \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN} } \right)\\
 \Rightarrow \overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {AG'}  - \overrightarrow {AC} \\
 = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {A'B}  + \overrightarrow {D'C}  + \overrightarrow {MC'}  + \overrightarrow {ND'} } \right)\\
 = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow c  + \overrightarrow a  - \overrightarrow c  + \frac{1}{2}\overrightarrow a  + \overrightarrow c  + \frac{1}{2}\overrightarrow c } \right)\\
 = \frac{1}{8}\left( {5\overrightarrow a  - \overrightarrow c } \right) = \frac{1}{8}\left( {5\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AA'} } \right)
\end{array}\)

Do đó \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {GG'} \) đồng phẳng. Mặt khác, G không thuộc mặt phẳng (ABB’A’) nên đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau

---

Trong không gian cho tam giác ABC.

a. Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mp(ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao cho \(\overrightarrow {OM}  = x\overrightarrow {OA}  + y\overrightarrow {OB}  + z\overrightarrow {OC} \) với mọi điểm O.

b. Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian sao cho \(\overrightarrow {OM}  = x\overrightarrow {OA}  + y\overrightarrow {OB}  + z\overrightarrow {OC} \), trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mp(ABC).

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Vì \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) là hai vecto không cùng phương nên điểm M thuộc mp(ABC) khi \(\overrightarrow {AM}  = l\overrightarrow {AB}  + m\overrightarrow {AC} \) 

hay \(\overrightarrow {OM}  - \overrightarrow {OA}  = l\left( {\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA} } \right) + m\left( {\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OA} } \right)\) với mọi điểm O tức là: \(\overrightarrow {OM}  = \left( {1 - l - m} \right)\overrightarrow {OA}  + l\overrightarrow {OB}  + m\overrightarrow {OC} \)

đặt 1 − l − m = x, l = y,m = z thì \(\overrightarrow {OM}  = x\overrightarrow {OA}  + y\overrightarrow {OB}  + z\overrightarrow {OC} \) với x + y + z = 1

Câu b:

Giả sử \(\overrightarrow {OM}  = x\overrightarrow {OA}  + y\overrightarrow {OB}  + z\overrightarrow {OC} \) với x+ y + z = 1, ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OM}  = \left( {1 - y - z} \right)\overrightarrow {OA}  + y\overrightarrow {OB}  + z\overrightarrow {OC} \\
hay\overrightarrow {OM}  - \overrightarrow {OA}  = y\overrightarrow {AB}  + z\overrightarrow {AC} \\
 \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = y\overrightarrow {AB}  + z\overrightarrow {AC} 
\end{array}\)

Mà \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương nên M thuộc mp(ABC)

---

Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

\(\overrightarrow {SA}  = a\overrightarrow {SA'} ,\overrightarrow {SB}  = b\overrightarrow {SB'} ,\overrightarrow {SC}  = c\overrightarrow {SC'} \)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {SG}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC} } \right)\\
 \Leftrightarrow \overrightarrow {SG}  = \frac{a}{3}\overrightarrow {SA'}  + \frac{a}{3}\overrightarrow {SB'}  + \frac{a}{3}\overrightarrow {SC'} 
\end{array}\)

Mặt phẳng (A’B’C’) đi qua G khi và chỉ khi 4 điểm G, A’, B’, C’ đồng phẳng, nên theo kết quả bài tập 5 (SGK trang 91) , điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu \(\frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} = 1\) , tức là: a + b + c = 3.

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Hình học 11 Chương 3 Bài 1 Vecto trong không gian. Sự đồng phẳng của các vecto được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 học tập thật tốt!