Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 2 Bài 5 Các quy tắc tính xác suất

Gieo ba đồng xu cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để :

a. Cả ba đồng xu đều sấp ;

b. Có ít nhất một đồng xu sấp ;

c. Có đúng một đồng xu sấp.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Gọi A_i là biến cố “Đồng xu thứ i sấp” (i = 1,2,3), ta có: \(P\left( A \right) = \frac{1}{2}\). Các biến cố A₁, A₂, A₃ độc lập. Theo quy tắc nhân xác suất, ta có: \(P\left( {{A_1}{A_2}{A_3}} \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {{A_2}} \right).P\left( {{A_3}} \right) = \frac{1}{8}\)

Câu b:

Gọi H là biến cố “Có ít nhất một đồng xu sấp”. Biến cố đối của biến cố H là \(\overline H \) : ”Cả ba đồng xu đều ngửa”. Tương tự như câu a ta có \(P\left( {\overline H } \right) = \frac{1}{8}\). Vậy :

\(P\left( H \right) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\)

Câu c:

Gọi K là biến cố “Có đúng một đồng xu sấp”. Ta có:

\(K = {A_1}\overline {{A_2}{A_3}}  \cup \overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}}  \cup \overline {{A_1}{A_2}} {A_3}\)

Theo quy tắc cộng xác suất, ta có:

\(P\left( K \right) = P\left( {{A_1}\overline {{A_2}{A_3}} } \right) + P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}} } \right) + P\left( {\overline {{A_1}{A_2}} {A_3}} \right)\)

Theo quy tắc nhân xác suất, ta tìm được :

\(P\left( {{A_1}\overline {{A_2}{A_3}} } \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {\overline {{A_2}} } \right).P\left( {\overline {{A_3}} } \right) = \frac{1}{8}\)

\(P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}} } \right) = P\left( {\overline {{A_1}{A_2}} {A_3}} \right) = \frac{1}{8}\).

Từ đó \(P\left( K \right) = \frac{3}{8}\)

---

Xác suất bắn trúng hồng tâm của một người bắn cung là 0,20,2. Tính xác suất để trong ba lần bắn độc lập :

a. Người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần;

b. Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Gọi A_i là biến cố “Người bắn cung bắn trúng hồng tâm ở lần thứ i” (i = 1,2,3), ta có P(A_i) = 0,2. Gọi K là biến cố “Trong ba lần bắn có duy nhất một lần người đó bắn trúng hồng tâm”, ta có:

\(K = {A_1}\overline {{A_2}{A_3}}  \cup \overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}}  \cup \overline {{A_1}{A_2}} {A_3}\)

Theo quy tắc cộng xác suất, ta có:

\(P\left( K \right) = P\left( {{A_1}\overline {{A_2}{A_3}} } \right) + P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}} } \right) + P\left( {\overline {{A_1}{A_2}} {A_3}} \right)\)

Theo quy tắc nhân xác suất, ta tìm được:

\(P\left( {{A_1}\overline {{A_2}{A_3}} } \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {\overline {{A_2}} } \right).P\left( {\overline {{A_3}} } \right) = 0,2.0,8.0,8 = 0,128\).

Tương tự \(P\left( {\overline {{A_1}} {A_2}\overline {{A_3}} } \right) = P\left( {\overline {{A_1}{A_2}} {A_3}} \right) = 0,128\)

Vậy \(P\left( K \right) = 3.0,128 = 0,384\).

Câu b:

Gọi B là biến cố "Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần".

\(\overline B \) là biến cố "Người đó không bắn trúng hồng tâm lần nào".

Khi đó \(P\left( {\overline B } \right) = 0,8.0,8.0,8 = 0,512\).

Vậy \(P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0,512 = 0,488\)

---

Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập. Đồng xu A chế tạo cân đối. Đồng txu B chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp ba lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Tính xác suất để :

a. Khi gieo hai đồng xu một lần thì cả hai đồng xu đều ngửa ;

b. Khi gieo hai đồng xu hai lần thì hai lần cả hai đồng xu đều ngửa.

Hướng dẫn giải:

Gọi A₁ là biến cố “Đồng xu A sấp”, A₂ là biến cố “Đồng xu A ngửa”

B₁ là biến cố “Đồng xu B sấp”, B₂ là biến cố “Đồng xu B ngửa”.

Theo bài ra ta có : P(A₁) = P(A₂) = 0,5; P(B₁) = P(B₂) = 0,25

Câu a:

A₂B₂  là biến cố “Cả hai đồng xu A và B đều ngửa”. Theo quy tắc nhân xác suất, ta có:

\(P\left( {{A_2}{B_2}} \right) = 0,5.0,25 = 0,125 = \frac{1}{8}\)

Câu b:

Gọi H₁ là biến cố “Khi gieo hai đồng xu lần đầu thì cả hai đồng xu đều ngửa”

H₂ là biến cố “Khi gieo hai đồng xu lần thứ hai thì cả hai đồng xu đều ngửa”.

Khi đó H₁H₂ là biến cố “Khi gieo hai đồng xu hai lần thì hai lần cả hai đồng xu đều ngửa”

Từ câu a ta có \(P\left( {{H_1}} \right) = P\left( {{H_2}} \right) = \frac{1}{8}\)

Áp dụng quy tắc nhân xác suất, ta có: \(P\left( {{H_1}{H_2}} \right) = P\left( {{H_1}} \right).P\left( {{H_2}} \right) = \frac{1}{8}.\frac{1}{8} = \frac{1}{{64}}\)

---

Trong một bài thi trắc nghiệm khách quan có 10 câu. Mỗi câu có 5 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Một học sinh không học bài nên làm bài bằng cách với mỗi câu đều chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất để học sinh đó trả lời không đúng cả 10 câu (tính chính xác đến hàng phần vạn).

Hướng dẫn giải:

Gọi A_i là biến cố “Học sinh đó trả lời không đúng câu thứ i” với i = 1,…,10.

Khi đó A₁A₂…A₁₀ là biến cố “Học sinh đó trả lời không đúng cả 10 câu”.

Từ giả thiết ta có \(P\left( {{A_i}} \right) = \frac{4}{5} = 0,8\)

Áp dụng qui tắc nhân xác suất, ta có:

P(A₁A₂…A₁₀)=P(A₁)P(A₂)…P(A₁₀)=(0,8)¹⁰ ≈ 0,1074.

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 2 Bài 5 Các quy tắc tính xác suất với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.