Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8

CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức khác.

- Các phương pháp thường dùng :

+ Đặt nhân tử chung

+ Dùng hằng đẳng thức

+ Nhóm các hạng tử

+ Phối hợp nhiều phương pháp. Có khi ta phải dùng những phương pháp đặc biệt khác (xem chuyên đề nâng cao 1).

a) Dạng tổng quát của các hằng đẳng thức

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{  -  }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{  =  }}\left( {{\rm{a  -  b}}} \right)\left( {{\rm{a  +  b}}} \right)}\\
{{{\rm{a}}^{\rm{3}}}{\rm{  -  }}{{\rm{b}}^{\rm{3}}}{\rm{  =  }}\left( {{\rm{a  -  b}}} \right)\left( {{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{  +  ab  +  }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{ l }}\mathop {\rm{a}}\limits^` {\rm{  :}}}\\
{{{\rm{A}}^{\rm{n}}}{\rm{  -  }}{{\rm{B}}^{\rm{n}}}{\rm{  =  }}\left( {{\rm{A  -  B}}} \right)\left( {{{\rm{A}}^{{\rm{n - 1}}}}{\rm{  +  }}{{\rm{A}}^{{\rm{n - 2}}}}{\rm{B  +  }}...{\rm{  +  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{ A}}{{\rm{B}}^{{\rm{n - 2}}}}{\rm{  +  }}\;{\rm{ }}...{\rm{  + }}{{\rm{B}}^{{\rm{n - 1}}}}} \right){\rm{. }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{ }}}
\end{array}\) 

b) Dạng tổng quát của hằng đẳng thức

\({{\text{a}}^{\text{3}}}\text{ + }{{\text{b}}^{\text{3}}}\text{ = }\left( \text{a + b} \right)\left( {{\text{a}}^{\text{2}}}\text{ - ab + }{{\text{b}}^{\text{2}}} \right)\text{ l }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{  :}\) 

\({{\text{A}}^{\text{n}}}\text{ + }{{\text{B}}^{\text{n}}}\text{ = }\left( \text{A + B} \right)\left( {{\text{A}}^{\text{n-1}}}\text{ - }{{\text{A}}^{\text{n-2}}}\text{B + }{{\text{A}}^{\text{n-3}}}{{\text{B}}^{\text{2}}}\text{ - }...\text{ - A}{{\text{B}}^{\text{n-2}}}\text{ + }{{\text{B}}^{\text{n-1}}} \right)\) 

với n lẻ.

c) Áp dụng vào tính chất chia hết

\({{\text{A}}^{\text{n}}}\text{ - }{{\text{B}}^{\text{n}}}^{{}}{{\vdots }^{{}}}\text{A - B}\) với n  N và A \(\ne \) B.

\({{\text{A}}^{\text{n}}}\text{ + }{{\text{B}}^{\text{n}}}^{{}}{{\vdots }^{{}}}\text{A - B}\) với n lẻ và A \(\ne \) -B.

\({{\text{A}}^{\text{2k}}}\text{ - }{{\text{B}}^{\text{2k}}}{{\vdots }^{{}}}{{\text{A}}^{2}}\text{ - }{{\text{B}}^{2}}\) với k \(\in \) N và A \(\ne \) ±B.

Ví dụ 1. Tính giá trị của biểu thức sau bằng cách hợp lí:

\[\text{A = }{{\left( \text{x - 3} \right)}^{\text{2}}}\text{ - }\left( \text{8x + 3} \right)\left( \text{3 - x} \right)\text{ + x}\left( \text{x - 3} \right)\]

tại x = 103

Giải.

Ta có

\(\text{A = }{{\left( \text{x - 3} \right)}^{\text{2}}}\text{ - }\left( \text{8x + 3} \right)\left( \text{3 - x} \right)\text{ + x}\left( \text{x - 3} \right)\) 

\(\text{= }{{\left( \text{x - 3} \right)}^{\text{2}}}\text{ + }\left( \text{8x + 3} \right)\left( \text{x - 3} \right)\text{ + x}\left( \text{x - 3} \right)\)

\(\text{= }\left( \text{x - 3} \right)\left( \text{x - 3 + 8x + 3 + x} \right)\text{ = 10x}\left( \text{x - 3} \right)\text{.}\) 

Với x = 103 thì A = 10.103.(103 - 3) = 103000.

Nhận xét : Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều ứng dụng. Một trong các ứng dụng đó là tính giá trị của biểu thức. Phương pháp phân tích trong ví dụ này là phương pháp đặt nhân tử chung.

Ví dụ 2. Phân tích đa thức thành nhân tử

\(\text{B = }\left( {{\text{x}}^{\text{2}}}\text{ + 9} \right)\text{2 - 36}{{\text{x}}^{\text{2}}}\) 

Giải.

Ta có

\(\text{B = }\left( {{\text{x}}^{\text{2}}}\text{ + 9} \right)\text{2 - 36}{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{ = }\left( {{\text{x}}^{\text{2}}}\text{ + 9} \right)\text{2 - }{{\left( \text{6x} \right)}^{\text{2}}}\)

\(\text{= }\left( {{\text{x}}^{\text{2}}}\text{ + 9 - 6x} \right)\left( {{\text{x}}^{\text{2}}}\text{ + 9 + 6x} \right)\text{ = }{{\left( \text{x - 3} \right)}^{\text{2}}}{{\left( \text{x + 3} \right)}^{\text{2}}}\text{.}\) 

........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

4. Bài tập tự luyện

1. Phân tích đa thức thành nhân tử

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{a) 8}}{{\rm{x}}^{\rm{n}}}{\rm{  +  y  -  12}}{{\rm{x}}^{\rm{n}}}{{\rm{y}}^{\rm{5}}}{\rm{ ; }}\;{\rm{ }}}\\
{{\rm{b) }}{{\left( {{\rm{a  -  b}}} \right)}^{\rm{2}}}{\rm{  -  }}\left( {{\rm{b  -  a}}} \right)\left( {{\rm{a  -  3b}}} \right){\rm{;}}}\\
{{\rm{c) a}}{{\left( {{\rm{a  -  b}}} \right)}^{\rm{2}}}{\rm{ }}\left( {{\rm{a  +  b}}} \right){\rm{  -  }}{{\left( {{\rm{b  -  a}}} \right)}^{\rm{2}}}\left( {{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{  -  5ab  +  }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}}
\end{array}\) 

2. Chứng minh rằng :

\({\rm{a) 792  -  79}}{\rm{.29 }} \vdots {\rm{ 50 ; }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{ b) 2165 }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  +  4}}{\rm{.613 }}\;{\rm{ }} \vdots {\rm{40}}{\rm{.}}\) 

3. Tìm một số biết rằng bình phương của nó bằng 4 lần lập phương của số ấy.

4. Phân tích đa thức thành nhân tử

\({\rm{a) }}\left( {{\rm{x  -  9}}} \right)\left( {{\rm{x  -  7}}} \right){\rm{  +  1 ; }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{ b) }}{{\rm{x}}^{\rm{6}}}{\rm{  -  }}{{\rm{y}}^{\rm{6}}}{\rm{; }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{  }}\;{\rm{ c) }}{\left( {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{  +  x  -  l}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{  +  4}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{  +  4x}}{\rm{.}}\) 

5. Phân tích đa thức thành nhân tử

\(\text{a) }{{\left( \text{x + 2y - 3} \right)}^{\text{2}}}\text{ - 4}\left( \text{x + 2y - 3} \right)\text{ + 4 ;          b) }{{\left( \text{x - y} \right)}^{\text{3}}}\text{ - 1 - 3}\left( \text{x - y} \right)\left( \text{x - y - 1} \right)\text{.}\) 

........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Chuyên đề nâng cao Tính chất chia hết trên tập hợp số nguyên Toán 8​. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.