Chuyên đề Những hằng đẳng thức đáng nhớ Toán 8

CHUYÊN ĐỀ NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

\({{\left( \text{A + B} \right)}^{2}}\text{ = }{{\text{A}}^{2}}\text{ + 2AB + }{{\text{B}}^{2}}\)                                            (1)

\({{\left( \text{A - B} \right)}^{2}}\text{ = }{{\text{A}}^{2}}\text{ - 2AB + }{{\text{B}}^{2}}\)                                              (2)    

\({{\text{A}}^{2}}\text{- }{{\text{B}}^{2}}\text{ - }\left( \text{A + B} \right)\left( \text{A - B} \right)\)                                                (3)

\({{\left( \text{A + B} \right)}^{3}}\text{ = }{{\text{A}}^{3}}\text{ + 3}{{\text{A}}^{2}}\text{B + 3A}{{\text{B}}^{2}}\text{ + }{{\text{B}}^{3}}\text{= }{{\text{A}}^{3}}\text{ + }{{\text{B}}^{3}}\text{ + 3AB}\left( \text{A + B} \right)\)  (4)

\({{\left( \text{A - B} \right)}^{3}}\text{ = }{{\text{A}}^{3}}\text{ - 3}{{\text{A}}^{2}}\text{B + 3A}{{\text{B}}^{2}}\text{ - }{{\text{B}}^{3}}\text{= }{{\text{A}}^{3}}\text{ - }{{\text{B}}^{3}}\text{ - 3AB}\left( \text{A - B} \right)\)   (5)

\({{\text{A}}^{3}}\text{ + }{{\text{B}}^{3}}\text{ = }\left( \text{A + B} \right)\left( {{\text{A}}^{2}}\text{ - AB + }{{\text{B}}^{2}} \right)\)                                  (6)

\({{\text{A}}^{3}}\text{ - }{{\text{B}}^{3}}\text{ = }\left( \text{A - B} \right)\left( {{\text{A}}^{2}}\text{ + AB + }{{\text{B}}^{2}} \right)\)                                     (7)

 \({{\text{(a}_{\text{1}}^{{}}\text{ + a}_{\text{2 }}^{{}}\text{+ }...\text{ + a}_{\text{n}}^{{}}\text{)}}^{\text{2}}}\text{ = a}_{\text{1}}^{\text{2}}\text{ + a}_{\text{2}}^{\text{2}}\text{ + }...\text{ + a}_{\text{n}}^{\text{2}}\text{ + 2a}_{\text{1}}^{{}}\text{a}_{\text{2}}^{{}}\text{ + 2a}_{\text{1}}^{{}}\text{a}_{\text{3}}^{{}}\text{ + }...\text{ + 2a}_{\text{1}}^{{}}\text{a}_{\text{n}}^{{}}\)

\(\text{+ 2a}_{\text{2}}^{{}}\text{a}_{\text{3}}^{{}}\text{ + 2a}_{\text{2}}^{{}}\text{a}_{\text{4}}^{{}}\text{ + }...\text{ + 2a}_{\text{2}}^{{}}\text{a}_{\text{n}}^{{}}\text{ + }...\text{ + 2a}_{\text{n-1}}^{{}}\text{a}_{\text{n}}^{{}}\text{.}\)

Đặc biệt, với n = 3 ta có :

\({{\text{(a + b + c)}}^{\text{2}}}\text{ = }{{\text{a}}^{\text{2}}}\text{ + }{{\text{b}}^{\text{2}}}\text{ + }{{\text{c}}^{\text{2}}}\text{ + 2ab + 2ac + 2bc}\text{.}\)

\({{\text{(a + b)}}^{\text{n}}}\text{ = }{{\text{a}}^{\text{n}}}\text{ + n}{{\text{a}}^{\text{n-1}}}\text{b + }\frac{\text{n(n-1)}}{\text{1}\text{.2}}{{\text{a}}^{\text{n-2}}}{{\text{b}}^{\text{2}}}\text{ + }\frac{\text{n(n-1)(n-2)}}{\text{1}\text{.2}\text{.3}}{{\text{a}}^{\text{n-3}}}{{\text{b}}^{\text{3}}}\text{ + }...\text{ + }{{\text{b}}^{\text{n}}}\text{.}\) 

Cho n các giá trị từ 0 đến 5 ta được :

Với n = 0     thì      \({{\left( \text{a + b} \right)}^{0}}\text{= 1}\)

Với n = 1     thì      \({{\left( \text{a + b} \right)}^{1}}\text{ = a + b}\)

Với n = 2     thì      \({{\left( \text{a + b} \right)}^{2}}\text{ = }{{\text{a}}^{2}}\text{ + 2ab + }{{\text{b}}^{2}}\)

Với n = 3     thì      \({{\left( \text{a + b} \right)}^{3}}\text{ = }{{\text{a}}^{3}}\text{ + 3}{{\text{a}}^{2}}\text{b + 3a}{{\text{b}}^{2}}\text{ + }{{\text{b}}^{3}}\)

Với n = 4     thì     \(\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\left( \text{a + b} \right)}^{4}}\text{ = }{{\text{a}}^{4}}\text{ + 4}{{\text{a}}^{3}}\text{b + 6}{{\text{a}}^{2}}{{\text{b}}^{2}}\text{ + 4a}{{\text{b}}^{3}}\text{ + }{{\text{b}}^{4}}\)

Với n = 5     thì      \({{\left( \text{a + b} \right)}^{5}}\text{ = }{{\text{a}}^{5}}\text{ + 5}{{\text{a}}^{4}}\text{b + 10}{{\text{a}}^{3}}{{\text{b}}^{2}}\text{ + 10}{{\text{a}}^{2}}{{\text{b}}^{3}}\text{ + 5a}{{\text{b}}^{4}}\text{ + }{{\text{b}}^{5}}\)  

Ta nhận thấy khi khai triển \({{\text{(a+b)}}^{\text{n}}}\) ta được một đa thức có n + 1 hạng tử, hạng tử đầu là \({{\text{a}}^{\text{n}}}\), hạng tử cuối là \({{\text{b}}^{\text{n}}}\), các hạng tử còn lại đều chứa các nhân tử a và b.

Vì vậy \({{\text{(a+b)}}^{\text{n}}}\text{ = B(a) + }{{\text{b}}^{\text{n}}}\text{ = B(b) + }{{\text{a}}^{\text{n}}}\text{.}\)

Với n = 0   :     1   

Với n = 1   :     1     1

Với n = 2   :     1     2     1

Với n = 3   :     1     3     3            1

Với n = 4   :     1     4     6            4    1

Với n = 5   :     1     5     10   10   5    1

………………………………………………….

- Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1

- Mỗi số ở một dòng kể từ dòng thứ hai đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của số liền trên.

Bảng trên đây được gọi là tam giác Pa-xcan.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng nếu một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c thoả mãn :

\(\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{5a - 3b + 4c} \right)\left( \text{5a - 3b - 4c} \right)\text{ = }{{\left( \text{3a - 5b} \right)}^{2}}\) 

thì tam giác đó là tam giác vuông.

Giải.

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{Ta có  }}\left( {{\rm{5a  -  3b  +  4c}}} \right)\left( {{\rm{5a  -  3b  -  4c}}} \right){\rm{  =  }}{{\left( {{\rm{3a  -  5b}}} \right)}^2}}\\
{{\rm{ <  =  >  }}\left[ {\left( {{\rm{5a  -  3b}}} \right){\rm{  +  4c}}} \right]\left[ {\left( {{\rm{5a  -  3b}}} \right){\rm{  -  4c}}} \right]{\rm{  =  }}{{\left( {{\rm{3a  -  5b}}} \right)}^2}}\\
{{\rm{ <  =  >  }}{{\left( {{\rm{5a  -  3b}}} \right)}^2}{\rm{  -  }}{{\left( {{\rm{4c}}} \right)}^2}{\rm{  =  }}{{\left( {{\rm{3a  -  5b}}} \right)}^2}}\\
{{\rm{ <  =  >  25}}{{\rm{a}}^2}{\rm{  -  30ab  +  9}}{{\rm{b}}^2}{\rm{  -  16}}{{\rm{c}}^2}{\rm{  =  9}}{{\rm{a}}^2}{\rm{  -  30ab  +  25}}{{\rm{b}}^2}}\\
{{\rm{ <  =  >  25}}{{\rm{a}}^2}{\rm{  -  9a}}{{\rm{2}}^2}{\rm{  +  9}}{{\rm{b}}^2}{\rm{  -  25}}{{\rm{b}}^2}{\rm{  -  16}}{{\rm{c}}^2}{\rm{  =  0}}}\\
{{\rm{ <  =  >  16}}{{\rm{a}}^2}{\rm{  -  16}}{{\rm{b}}^2}{\rm{  -  16}}{{\rm{c}}^2}{\rm{  =  0\;}}}\\
{{\rm{ <  =  >  16}}{{\rm{a}}^2}{\rm{  =  16}}{{\rm{b}}^2}{\rm{  +  16}}{{\rm{c}}^2}{\rm{  <  =  >  }}{{\rm{a}}^2}{\rm{  =  }}{{\rm{b}}^2}{\rm{  +  }}{{\rm{c}}^2}{\rm{.}}}
\end{array}\) 

Do đó tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c chính là một tam giác vuông.

Ví dụ 2. Cho x + y = -9 ; xy = 18. Không tính các giá trị của x và y, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

\(\text{a) }\!\!~\!\!\text{ M = }{{\text{x}}^{2}}\text{ + }{{\text{y}}^{2}}\text{ ;        b) N = }{{\text{x}}^{4}}\text{ + }{{\text{y}}^{4}}\text{ ; }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  c) }\!\!~\!\!\text{ P = }\!\!~\!\!\text{  }{{\text{x}}^{2}}\text{ - }{{\text{y}}^{2}}\text{.}\) 

Giải. Đề bài cho giá trị của tổng x + y và tích xy nên muốn tính được giá trị của các biểu thức M, N, P ta phải biểu diễn các biểu thức này dưới       dạng các biểu thức có (x + y) và xy.

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{a) M  =  }}{{\rm{x}}^2}{\rm{  +  }}{{\rm{y}}^2}{\rm{  =  }}{{\rm{x}}^2}{\rm{  +  2xy  +  }}{{\rm{y}}^2}{\rm{  -  2xy  =  }}{{\left( {{\rm{x  +  y}}} \right)}^2}{\rm{  -  2xy}}}\\
{{\rm{ =  }}{{\left( {{\rm{ - 9}}} \right)}^2}{\rm{  -  2}}{\rm{.18  =  45}}{\rm{.}}}\\
{{\rm{b) N  =  }}{{\rm{x}}^4}{\rm{  +  }}{{\rm{y}}^4}{\rm{  =  }}{{\rm{x}}^4}{\rm{  +  2}}{{\rm{x}}^2}{{\rm{y}}^2}{\rm{  +  }}{{\rm{y}}^4}{\rm{  -  2}}{{\rm{x}}^2}{{\rm{y}}^2}{\rm{  =  }}\left( {{{\rm{x}}^2}{\rm{  +  }}{{\rm{y}}^2}} \right){\rm{2  -  2}}{{\left( {{\rm{xy}}} \right)}^2}}\\
{{\rm{ =  4}}{{\rm{5}}^2}{\rm{  -  2}}{\rm{.1}}{{\rm{8}}^2}{\rm{  =  1377}}{\rm{.}}}\\
{{\rm{c)\;Ta c\'o  }}{{\left( {{\rm{x  -  y}}} \right)}^2}{\rm{  =  }}{{\rm{x}}^2}{\rm{  -  2xy  +  }}{{\rm{y}}^2}{\rm{  =  }}{{\rm{x}}^2}{\rm{  +  2xy  +  }}{{\rm{y}}^2}{\rm{  -  4xy}}}\\
{{\rm{ =  }}{{\left( {{\rm{x  +  y}}} \right)}^2}{\rm{  -  4xy  =  }}\left( {{\rm{ - 9}}} \right){\rm{2  -  4}}{\rm{.18  =  9}}{\rm{.}}}\\
{{\rm{Suy ra x  -  y  =   \pm 3}}{\rm{.}}}
\end{array}\) 

• Nếu x - y = 3 thì \(\text{P = }{{\text{x}}^{2}}\text{ - }{{\text{y}}^{2}}\text{ = }\left( \text{x - y} \right)\left( \text{x + y} \right)\text{ = 3}\text{.}\left( \text{-9} \right)\text{ = -27}\text{.}\).

• Nếu x - y = -3 thì \(\text{P = }{{\text{x}}^{2}}\text{ - }{{\text{y}}^{2}}\text{ = }\left( \text{x - y} \right)\left( \text{x + y} \right)\text{ = }\left( \text{-3} \right)\text{.}\left( \text{-9} \right)\text{ = 27}\text{.}\).

........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

1. Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

\(\text{a) 5}{{\left( \text{x + 4} \right)}^{{}}}\text{ + 4}{{\left( \text{x - 5} \right)}^{2}}\text{ - 9}\left( \text{4 + x} \right)\left( \text{x - 4} \right)\text{;}\)

\(\text{b) }{{\left( \text{x + 2y} \right)}^{2}}\text{ + }{{\left( \text{2x - y} \right)}^{2}}\text{ - 5}\left( \text{x + y} \right)\left( \text{x - y} \right)\text{ - 10}\left( \text{y + 3} \right)\left( \text{y - 3} \right)\text{.}\) 

2. Tính giá trị của biểu thức bằng cách hợp lí:

a) 413(413 - 26) + 169;

\(\text{b) (62}{{\text{5}}^{\text{2}}}\text{ + 3)(2}{{\text{5}}^{\text{4}}}\text{ - 3) - }{{\text{5}}^{\text{16}}}\text{ + 10;}\)

\(\text{c) }\frac{\text{4}{{\text{1}}^{\text{2}}}\text{ + 3}{{\text{9}}^{\text{2}}}\text{ + 82}\text{.39}}{\text{4}{{\text{1}}^{\text{2}}}\text{ - 3}{{\text{9}}^{\text{2}}}}\text{.}\) 

3. Tìm x biết:

\(\text{a) (5x - 1}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{ - (5x - 4)(5x + 4) = 7;}\)

\(\text{b) (4x - 1}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{ - (2x + 3}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{ + 5(x + 2}{{\text{)}}^{\text{2}}}\text{ + 3(x - 2)(x + 2) = 500}\text{.}\) 

.........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Chuyên đề Những hằng đẳng thức đáng nhớ Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.