Bồi dưỡng HSG chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8

BỒI DƯỠNG HSG CHUYÊN ĐỀ - PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Định lí bổ sung:

+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1

+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì \(\frac{{{\rm{f(1)}}}}{{{\rm{a  -  1}}}}\) và \(\frac{{{\rm{f( - 1)}}}}{{{\rm{a  +  1}}}}\) đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do

1. Ví dụ 1: 3x² – 8x + 4

Cách 1: Tách hạng tử thứ 2

3x² – 8x + 4 =  3x² – 6x  – 2x  + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)

Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:

3x² – 8x + 4 =  (4x² – 8x  + 4)  - x² = (2x – 2)² – x² = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x)

= (x – 2)(3x – 2)

Ví dụ 2:   x³ – x² - 4

Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = \( \pm 1; \pm 2; \pm 4\), chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm  của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta  tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 2

Cách 1: 

x³ – x² – 4 = \(\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right) + \left( {{x^2} - 2x} \right) + \left( {2x - 4} \right) = {x^2}\left( {x - 2} \right) + x(x - 2) + 2(x - 2)\) = \(\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right)\)  

Cách 2:

\({x^3} - {x^2} - 4 = {x^3} - 8 - {x^2} + 4 = \left( {{x^3} - 8} \right) - \left( {{x^2} - 4} \right) = (x - 2)({x^2} + 2x + 4) - (x - 2)(x + 2)\)  

= \(\left( {x - 2} \right)\left[ {\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) - (x + 2)} \right] = (x - 2)({x^2} + x + 2)\) 

...........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:

Ví dụ 1: 4x⁴ + 81 = 4x⁴  + 36x² + 81 - 36x² = (2x² + 9)² – 36x²

= (2x² + 9)² – (6x)² = (2x² + 9 + 6x)(2x² + 9 – 6x)

= (2x² + 6x + 9 )(2x² – 6x + 9)

Ví dụ 2: x⁸ + 98x⁴ + 1 = (x⁸ + 2x⁴ + 1 ) + 96x⁴

= (x⁴ + 1)² + 16x²(x⁴ + 1) + 64x⁴ - 16x²(x⁴ + 1) + 32x⁴

= (x⁴ + 1 + 8x²)²  – 16x²(x⁴ + 1 – 2x²) = (x⁴ + 8x²  + 1)²  - 16x²(x² – 1)²

= (x⁴ + 8x²  + 1)²  - (4x³ – 4x )²

= (x⁴ + 4x³ + 8x²  – 4x + 1)(x⁴ - 4x³ + 8x²  + 4x + 1)

2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung

Ví dụ 1: x⁷ + x² + 1 = (x⁷ – x)  + (x² + x + 1 ) =  x(x⁶ – 1) + (x² + x + 1 )

=  x(x³  - 1)(x³ + 1) + (x² + x + 1 ) = x(x – 1)(x² + x + 1 ) (x³ + 1) + (x² + x + 1)

=  (x² + x + 1)[x(x – 1)(x³ + 1) + 1] = (x² + x + 1)(x⁵ –  x⁴  +  x²  - x + 1)

Ví dụ 2: x⁷ + x⁵ + 1 = (x⁷ – x ) + (x⁵ – x² ) + (x²  + x + 1)

= x(x³ – 1)(x³ + 1) + x²(x³ – 1) + (x²  + x + 1)

= (x²  + x + 1)(x – 1)(x⁴ + x) + x² (x – 1)(x²  + x + 1) + (x²  + x + 1)

= (x²  + x + 1)[(x⁵ – x⁴ + x² – x) + (x³ – x² ) + 1] = (x²  + x + 1)(x⁵ – x⁴ + x³ – x + 1)

..........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Ví dụ 1:  x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128

=  (x² + 10x) + (x² + 10x  + 24) + 128

Đặt  x² + 10x + 12 =  y, đa thức có dạng

(y – 12)(y + 12) + 128 = y² – 144 + 128 = y² – 16 = (y + 4)(y – 4)

=  ( x² + 10x + 8 )(x²  + 10x  + 16 ) =  (x + 2)(x + 8)( x² + 10x + 8 )

Ví dụ 2:  A = x⁴ + 6x³ + 7x² – 6x + 1

Giả sử x  0 ta viết

x⁴ + 6x³ + 7x² – 6x + 1 =  x² ( x² + 6x + 7 – \(\frac{{\rm{6}}}{{\rm{x}}}{\rm{  +  }}\frac{{{\rm{1 }}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}\)) = x² [(x² + \(\frac{{{\rm{1 }}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}\)) + 6(x - \(\frac{{{\rm{ 1 }}}}{{\rm{x}}}\)) + 7 ]

Đặt  x - \(\frac{{{\rm{ 1 }}}}{{\rm{x}}}\) = y  thì  x² + \(\frac{{{\rm{1 }}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}\) = y² + 2, do đó

A = x²(y² + 2 + 6y + 7) = x²(y + 3)²  =  (xy + 3x)²  = [x(x - \(\frac{{{\rm{ 1 }}}}{{\rm{x}}}\))² + 3x]² = (x² + 3x – 1)²

Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:

A = x⁴ + 6x³ + 7x² – 6x + 1 = x⁴ + (6x³ – 2x² ) + (9x² – 6x + 1 )

=  x⁴ + 2x²(3x – 1) + (3x – 1)²   = (x² + 3x – 1)²

.........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Ví dụ 1:  x⁴ - 6x³ + 12x² - 14x + 3

Nhận xét: các số  1, 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên củng không có nghiệm hữu tỉ

Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng

(x² + ax + b)(x² + cx + d) = x⁴ + (a + c)x³ + (ac + b + d)x² + (ad + bc)x + bd

đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
a + c =  - 6\\
ac + b + d = 12\\
ad + bc =  - 14\\
bd = 3
\end{array} \right.\)

Xét bd = 3 với  b, d  Z, b \(\left\{ { \pm 1, \pm 3} \right\}\)  với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành

\(\left\{ \begin{array}{l}
a + c =  - 6\\
ac =  - 8\\
a + 3c =  - 14\\
bd = 3
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2c =  - 8\\
ac = 8
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c =  - 4\\
a =  - 2
\end{array} \right.\)

Vậy: x⁴ - 6x³ + 12x² - 14x + 3 =  (x² - 2x + 3)(x² - 4x  + 1)

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bồi dưỡng HSG chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.