Chuyên đề nâng cao Rút gọn biểu thức bằng phương pháp khử liên tiếp Toán 8

Chuyên đề nâng cao

RÚT GỌN BIỂU THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHỬ LIÊN TIẾP

Thông thường, muốn rút gọn một biểu thức hữu tỉ ta dựa vào quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức. Nhưng có những biểu thức hữu tỉ ta không thể vận dụng trực tiếp quy tắc các phép toán về phân thức được vì nhiều lí do khác nhau.

Chẳng hạn, không thể quy đồng mẫu thức của hàng trăm phân thức có mẫu thức khác nhau để cộng;trừ chúng. Không thể tìm tích của hàng chục phân thức bằng cách nhân trực tiếp tử với tử, mẫu với mẫu mà không tìm ra quy luật để rút gọn tích.

Gặp những trường hợp như vậy, người ta thường tách mỗi hạng tử thành tổng hay hiệu của các phân thức hoặc tách mỗi nhân tử thành tích của hai hay nhiều phân thức để sau đó khử liên tiếp, hoặc nhóm lại thành từng nhóm có thể tính ra kết quả dễ dàng.

Ví dụ 1. Tính tổng

\(S=\frac{1}{\text{x}\left( \text{x + l} \right)}+\frac{1}{\left( \text{x + l} \right)\left( \text{x + 2} \right)}+\frac{1}{\left( \text{x + 2} \right)\left( \text{x + 3} \right)}+...+\frac{1}{\left( \text{x + 99} \right)\left( \text{x + 100} \right)}\).

Giải. Trước hết ta chứng minh công thức

\(\frac{\text{1}}{\left( \text{x + k} \right)\left( \text{x + k + l} \right)}\text{ = }\frac{\text{1}}{\text{x + k}}\text{ - }\frac{\text{1}}{\text{x + k + 1}}\) 

Ta có \(\frac{\text{1}}{\left( \text{x + k} \right)\left( \text{x + k + 1} \right)}\text{ = }\frac{\left( \text{x + k + 1} \right)\text{-}\left( \text{x + k} \right)}{\left( \text{x + k} \right)\left( \text{x + k + 1} \right)}\text{ = }\frac{\text{1}}{\text{x+k}}\text{ - }\frac{\text{1}}{\left( \text{x + k + 1} \right)}\text{.}\) 

Cho k lần lượt lấy các giá trị từ 0 đến 99 ta được

\(\text{S = (}\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{ - }\frac{\text{1}}{\text{x+1}}\text{) + (}\frac{\text{1}}{\text{x+1}}\text{ - }\frac{\text{1}}{\text{x+2}}\text{) + (}\frac{\text{1}}{\text{x+2}}\text{ - }\frac{\text{1}}{\text{x+3}}\text{) + }...\text{ + (}\frac{\text{1}}{\text{x+99}}\text{ - }\frac{\text{1}}{\text{x+100}}\text{)}\text{.}\)

Vì số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau nên sau khi khử liên tiếp ta được : \(\text{S = }\frac{\text{11}}{\text{x}}\text{ - }\frac{\text{1}}{\text{x+100}}\text{ = }\frac{\text{x+100-x}}{\text{x(x+100)}}\text{ = }\frac{\text{ 100}}{\text{x(x+100)}\text{.}}\) 

Ví dụ 2. Tính tổng

\(\text{S = }\frac{{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{-yz}}{\text{(x+y)(x+z)}}\text{ + }\frac{{{\text{y}}^{\text{2}}}\text{-zx}}{\text{(y+z)+(y+x)}}\text{ + }\frac{{{\text{z}}^{\text{2}}}\text{-xy}}{\text{(z+x)(z+y)}}\text{.}\) 

Giải. Ta có: \(\frac{{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{-yz}}{\text{(x+y)(x+z)}}\text{ = }\frac{{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{+xy-xy-yz}}{\text{(x+y)(x+z)}}\) 

\(\text{= }\frac{\text{x(x+y)-y(x+z)}}{\text{(x+y)(x+z)}}\text{ = }\frac{\text{x}}{\text{x+z}}\text{ - }\frac{\text{y}}{\text{x+y}}\text{.}\) 

Tương tự: \(\frac{{{\text{y}}^{\text{2}}}\text{-zx}}{\text{(y+z)(y+x)}}\text{ = }\frac{\text{y}}{\text{y+x}}\text{ - }\frac{\text{z}}{\text{y+z}}\text{; }\frac{{{\text{z}}^{\text{2}}}\text{-xy}}{\text{(z+x)(z+y)}}\text{ = }\frac{\text{z}}{\text{z+y}}\text{ - }\frac{\text{x}}{\text{z+x}}\text{.}\) 

Do đó \(\text{S = (}\frac{\text{x}}{\text{x+z}}\text{ - }\frac{\text{y}}{\text{x+y}}\text{) + (}\frac{\text{y}}{\text{y+x}}\text{ - }\frac{\text{z}}{\text{y+z}}\text{) + (}\frac{\text{z}}{\text{z+y}}\text{ - }\frac{\text{x}}{\text{z+x}}\text{) = 0}\text{.}\) 

...........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Tính tổng

1. Tính tổng :

\(\begin{array}{l}
{\rm{a) S}}_{\rm{1}}^{}{\rm{  =  }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x  +  a}}} \right)}}{\rm{  +  }}\frac{{\rm{1}}}{{\left( {{\rm{x  +  a}}} \right)\left( {{\rm{x  +  2a}}} \right)}}{\rm{  +  }}\frac{{\rm{1}}}{{\left( {{\rm{x  +  2a}}} \right)\left( {{\rm{x  +  3a}}} \right)}}{\rm{  +  }}...\\
{\rm{          +  }}\frac{{\rm{1}}}{{\left( {{\rm{x  +  9a}}} \right)\left( {{\rm{x  +  10a}}} \right)}}{\rm{  +  }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{a}}\left( {{\rm{x  +  10a}}} \right)}}{\rm{;}}\\
{\rm{b) S}}_{\rm{2}}^{}{\rm{  =  }}\frac{{\rm{b}}}{{{\rm{x}}\left( {{\rm{x  +  a}}} \right)}}{\rm{  +  }}\frac{{\rm{b}}}{{\left( {{\rm{x  +  a}}} \right)\left( {{\rm{x  +  2a}}} \right)}}{\rm{  +  }}\frac{{\rm{b}}}{{\left( {{\rm{x  +  2a}}} \right)\left( {{\rm{x  +  3a}}} \right)}}{\rm{  +  }}...\\
{\rm{          +  }}\frac{{\rm{b}}}{{\left( {{\rm{x  +  99a}}} \right)\left( {{\rm{x  +  100a}}} \right)}}{\rm{  +  }}\frac{{\rm{b}}}{{{\rm{a}}\left( {{\rm{x  +  100a}}} \right)}}{\rm{.}}
\end{array}\) 

2. Tính tổng : 

\(\begin{array}{l}
{\rm{a) A  =  }}\frac{{{\rm{x - y}}}}{{{\rm{xy}}}}{\rm{  +  }}\frac{{{\rm{y - z}}}}{{{\rm{yz}}}}{\rm{  +  }}\frac{{{\rm{z - x}}}}{{{\rm{zx}}}}{\rm{;}}\\
{\rm{b) B  =  }}\frac{{\rm{7}}}{{{{{\rm{(1}}{\rm{.2)}}}^{\rm{3}}}}}{\rm{  +  }}\frac{{{\rm{19}}}}{{{{{\rm{(2}}{\rm{.3)}}}^{\rm{3}}}}}{\rm{  +  }}\frac{{{\rm{37}}}}{{{{{\rm{(3}}{\rm{.4)}}}^{\rm{3}}}}}{\rm{  +  }}...{\rm{  +  }}\frac{{{\rm{3}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 3n + 1}}}}{{{{{\rm{[n(n + 1)]}}}^{\rm{3}}}}}{\rm{.}}
\end{array}\) 

.........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Chuyên đề nâng cao Phân tích đa thức thành nhân tử bằng một số phương pháp khác Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.