Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian Toán 11

Để tính góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau:

Cách 1. Tìm hai đường thẳng a; b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (α) và (β). Khi đó góc giữa hai đường thẳng a và b chính là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β).

Cách 2. Sử dụng công thức hình chiếu: Gọi S là diện tích của hình (H) trong mp(α) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(β) thì S’ = S.cosφ

⇒ cosα ⇒ φ

Cách 3. Xác định cụ thể góc giữa hai mặt phẳng rồi sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính.

+ Bước 1: Tìm giao tuyến Δ của hai mp

+ Bước 2: Chọn mặt phẳng (γ) vuông góc Δ

+ Bước 3: Tìm các giao tuyến (γ) với (α); (β)

⇒ ((α), (β)) = (a, b)

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là ∠CBD

B. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB

C. (BCD) ⊥ (AIB)

D. (ACD) ⊥ (AIB)

Hướng dẫn giải

+ Tam giác BCD cân tại B có I trung điểm đáy CD

⇒ CD ⊥ BI    (1)

+ Tam giác CAD cân tại A cóI trung điểm đáy CD

⇒ CD ⊥ AI    (2)

Từ (1) và (2) ⇒ CD ⊥ (ABI).

⇒ (BCD) ⊥ (ABI) Và (ACD) ⊥ (ABI);

Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB .

Vậy A: sai

Chọn A

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc ∠BAD = 60°. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO = 3a/4. Gọi E là trung điểm BC và F là trung điểm BE. Góc giữa hai mặt phẳng (SOF)và (SBC) là

A. 90°                    

B. 60°                    

C. 30°                    

D. 45°

Hướng dẫn giải

Tam giác BCD có BC = BD và ∠BCD = 60° nên tam giác BCD đều

Lại có E là trung điểm BC ⇒ DE ⊥ BC

Mặt khác, tam giác BDE có OF là đường trung bình

⇒ OF // DE ⇒ BC ⊥ OF   (1).

+ Do SO ⊥ (ABCD) ⇒ BC ⊥ SO  (2).

+ Từ (1) và (2), suy ra BC ⊥ (SOF) ⇒ (SBC) ⊥ (sOF)

Vậy, góc giữa ( SOF) và( SBC) bằng 90°

Chọn A

Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Xét mặt phẳng (A’BD). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Góc giữa mặt phẳng ( A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng α mà tanα = 1/√2 .

B. Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng α mà tanα = 1/√3

C. Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương phụ thuộc vào kích thước của hình lập phương.

D. Góc giữa mặt phẳng ( A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng nhau.

Hướng dẫn giải

ABCD.A'B'C'D' là hình lặp phương nên hình chiếu của tam giác A’BD lên các mặt chứa các cạnh của hình lặp phương là các tam giác bằng nhau.

Gọi S₁ là diện tích các tam giác này

Lại có S₁ = S_AD'B.cosα

⇒ Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng nhau.

Vậy chọn đáp án D

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng bao nhiêu?

A. 30°             

B. 45°             

C. 90°             

D. 60°

Hướng dẫn giải

Ta có: SC ⊥ BD (vì BD ⊥ AC, BD ⊥ SA)

Trong mặt phẳng (SAC) , kẻ OI ⊥ SC thì ta có SC ⊥ (BID)

Khi đó ((SCB), (SCD)) = ∠BID

Trong tam giác SAC, kẻ đường cao AH thì AH = a(√2/√3)

Mà O là trung điểm AC và OI // AH nên OI = a/√6

Tam giác IOD vuông tại O có ∠OID = √3 ⇒ ∠OID = 60°

Vậy hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) hợp với nhau một góc 60°

Chọn D.

Câu 4: Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó côsin góc giữa mặt bên và mặt đáy là:

A. \({{30}^{O}}\)         

B. \(\sqrt{3}\)               

C. \({{60}^{O}}\)         

D. \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Hướng dẫn giải:

Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó côsin góc giữa mặt bên và mặt đáy là:

Ta có \(\left( \left( SBC \right),\left( ABCD \right) \right)=\widehat{SIH}=\varphi \)

Khi đó: \(\cos \varphi =\frac{HI}{SI}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Chọn đáp án D.

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA bằng 2a, tam giác ABC vuông ở C có \(AB=2a,\) \(\widehat{CAB}={{30}^{0}}\). Gọi H là hình chiếu vuông của A trên SC. Tính theo a thể tích của khối chóp H.ABC. Tính cô-sin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right),\,\,\left( SBC \right).\)

A. \(\frac{\sqrt{7}}{7}\)                                   

B. \(\frac{\sqrt{7}}{14}\)           

C. \(\frac{3\sqrt{7}}{14}\)        

D. \(\frac{\sqrt{7}}{9}\)

Hướng dẫn giải:

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Ta có AH\(\bot \)SC,AH\(\bot \)CB(Do CB\(\bot \)(SAC))\(=>\)  AH\(\bot \)(SBC)\(=>\)  AH\(\bot \)SB

Lại có: SB\(\bot \)AK\(=>\) SB\(\bot \)(AHK). Vậy góc giữa giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right),\left( SBC \right)\) là \(\widehat{HKA}\)

\(\begin{align} & \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}=\frac{1}{4{{a}^{2}}}+\frac{1}{3{{a}^{2}}}=\frac{7}{12{{a}^{2}}}=>AH=\frac{a.2\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \\ & \frac{1}{A{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{B}^{2}}}=\frac{1}{4{{a}^{2}}}+\frac{1}{4{{a}^{2}}}=\frac{1}{2{{a}^{2}}}=>AK=a\sqrt{2} \\ \end{align}\)

Tam giác HKA vuông tại H (vì AH\(\bot \)(SBC),(SBC)\(\supset \)HK)

\(\sin \widehat{HKA}=\frac{AH}{AK}=\frac{\frac{a.2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}=>c\text{os}\widehat{HKA}=\frac{\sqrt{7}}{7}\)

Chọn đáp án A.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian Toán 11​​. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Toán 11

• Chuyên đề ôn thi THPT QG về Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Chúc các em học tốt!