Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 4 Bài 7 Các dạng vô định

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} \frac{{2{x^2} + 5x - 3}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \frac{{2{x^2} + 5x - 3}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^3} + 1}  - 1}}{{{x^2} + x}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}} = 3\)

Câu b:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} \frac{{2{x^2} + 5x - 3}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x + 3}} =  - \infty \)

(vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} \left( {2x - 1} \right) =  - 7 < 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} \left( {x + 3} \right) = 0\) và x + 3 > 0).

Câu c:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \frac{{2{x^2} + 5x - 3}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x + 3}} =  + \infty \) 

(vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \left( {2x - 1} \right) =  - 7 < 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \left( {x + 3} \right) = 0\) và x - 3 < 0)

Câu d:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^3} + 1}  - 1}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^3}}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 1}  + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 1}  + 1} \right)}} = 0\)

---

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^2} + x - 10}}{{9 - 3{x^3}}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {2{x^2} - 7x + 12} }}{{3\left| x \right| - 17}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^2} + x - 10}}{{9 - 3{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{{10}}{{{x^3}}}}}{{\frac{9}{{{x^3}}} - 3}} = 0\)

Câu b:

Với mọi \(x \ne 0\), ta có:

\(\frac{{\sqrt {2{x^2} - 7x + 12} }}{{3\left| x \right| - 17}} = \frac{{\left| x \right|\sqrt {2 - \frac{7}{x} + \frac{{12}}{{{x^2}}}} }}{{\left| x \right|\left( {3 - \frac{{17}}{{\left| x \right|}}} \right)}} = \frac{{\sqrt {2 - \frac{7}{x} + \frac{{12}}{{{x^2}}}} }}{{3 - \frac{{17}}{{\left| x \right|}}}}\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {2{x^2} - 7x + 12} }}{{3\left| x \right| - 17}} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\)

---

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} \)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x + 2} \right)\sqrt {\frac{{x - 1}}{{{x^3} + x}}} \)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Với x > - 1 đủ gần - 1 (- 1 < x < 0), ta có:

\(\begin{array}{l}
\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}}  = \left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} \\
 = \left( {{x^2} - x + 1} \right)\sqrt {\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}}} \\
 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}}  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left( {{x^2} - x + 1} \right)\sqrt {\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}}}  = 0
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x + 2} \right)\sqrt {\frac{{x - 1}}{{{x^3} + x}}}  = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)}}{{{x^3} + x}}} \\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {\frac{{{{\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}^2}\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)}}{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}}  = 1
\end{array}\)

---

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - x} \right)\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2x - {x^2}}  - 1}}{{{x^2} - x}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + x}} = 0\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2x - {x^2}}  - 1}}{{{x^2} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2x - {x^2} - 1}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2x - {x^2}}  + 1} \right)}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2x - {x^2}}  + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - x}}{{x\left( {\sqrt {2x - {x^2}}  + 1} \right)}} = 0
\end{array}\)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 4 Bài 7 Các dạng vô định với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.