Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 3 Luyện tập (109)

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 3 và u_n+1 = u_n+5 với mọi n ≥ 1.

a. Hãy tính u₂, u₄ và u₆.

b. Chứng minh rằng u_n = 5n–2 với mọi n ≥ 1.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

u₂ = u₁+5 = 8

u₃ = u₂+5 = 13

u₄ = u₃+5 = 18

u₅ = u₄+5 = 23

u₆ = u₅+5 = 28

Câu b:

Ta sẽ chứng minh u_n = 5n–2 (1) với mọi n ∈ N^∗, bằng phương pháp qui nạp.

• Với n = 1, ta có u₁ = 3 = 5.1–2

Vậy (1) đúng khi n = 1.

• Giả sử (1) đúng với n = k, k ∈ N^∗, tức là u_k = 5k−2
• Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi n = k+1

Thật vậy, từ công thức xác định dãy số (u_n) và giả thiết qui nạp ta có:

u_k+1 = u_k+5 = 5k−2+5 = 5(k+1)−2

Do đó (1) đúng với mọi n ∈ N^∗.

---

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 1 và u_n+1 = u_n+(n+1).2ⁿ với mọi n ≥ 1

a. Chứng minh rằng (u_n) là một dãy số tăng.

b. Chứng minh rằng u_n = 1+(n−1).2ⁿ với mọi n ≥ 1.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Từ hệ thức xác định dãy số (u_n), ta có:

u_n+1 − u_n = (n+1).2ⁿ > 0, ∀n ≥ 1.

Do đó (u_n) là một dãy số tăng.

Câu b:

Ta sẽ chứng minh u_n = 1+(n−1).2ⁿ  (1) với mọi n ≥ 1, bằng phương pháp qui nạp.

• Với n = 1, ta có u₁ = 1 = 1+(1−1).2¹. Như vậy (1) đúng khi n = 1
• Giả sử (1) đúng khi n = k, k ∈ N^∗, tức là u_k = 1+(k−1)2^k
• Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng với n = k+1.

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) và giả thiết qui nạp, ta có:

u_k+1 = u_k+(k+1).2^k = 1+(k−1).2^k+(k+1).2^k = 1+k.2^k+1

Vậy (1) đúng với mọi n ≥ 1.

---

Cho dãy số (un) xác định bởi

u₁ = 1 và \({u_{n + 1}} = \frac{2}{{u_n^2 + 1}}\) với mọi n ≥ 1

Chứng minh rằng (u_n) là một dãy số không đổi (dãy có tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Hướng dẫn giải:

Ta chứng minh u_n = 1 (1), ∀n ∈ N^∗ bằng qui nạp:

• Rõ ràng (1) đúng với n = 1
• Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có u_k = 1
• Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1.

Thật vậy theo công thức truy hồi và giả thiết quy nạp ta có:

\({u_{k + 1}} = \frac{2}{{u_k^2 + 1}} = \frac{2}{{{1^2} + 1}} = 1\)

Vậy (1) đúng với n = k+1, do đó (1) đúng với mọi n ∈ N^∗

---

Cho dãy số (s_n) với \({s_n} = \sin \left( {4n - 1} \right)\frac{\pi }{6}\).

a. Chứng minh rằng s_n = s_n+3 với mọi n ≥ 1

b. Hãy tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Với n > 1 tùy ý, ta có:

\(\begin{array}{l}
{{\mathop{\rm s}\nolimits} _{n + 3}} = \sin \left[ {4\left( {n + 3} \right) - 1} \right]\frac{\pi }{6}\\
 = \sin \left[ {4n - 1 + 12} \right]\frac{\pi }{6}\\
 = \sin \left[ {\left( {4n - 1} \right)\frac{\pi }{6} + 2\pi } \right]\\
 = \sin \left( {4n - 1} \right)\frac{\pi }{6} = {s_n}
\end{array}\)

Câu b:

Từ kết quả phần a) ta có:

s₁ = s₄ = s₇ = s₁₀ = s₁₃,

s₂ = s₅ = s₈ = s₁₁ = s₁₄,

s₃ = s₆ = s₉ = s₁₂ = s₁₅.

Từ đó suy ra:

s₁ + s₂ + s₃ = s₄ + s₅ + s₆ = s₇ + s₈ + s₉ = s₁₀ + s₁₁ + s₁₂ = s₁₃ + s₁₄ + s₁₅

Do đó:  S₁₅ = s₁ + s₂ +...+ s₁₅ = 5(s₁ + s₂ + s₃)

Bằng cách tính trực tiếp, ta có  s₁ = 1, s₂ = \( - \frac{1}{2}\) và s₃ = \( - \frac{1}{2}\) ⇒ S₁₅ = 0

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 3 Luyện tập (trang 109) với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.