Bài tập 6.2 trang 106 SBT Toán 9 Tập 2

Hướng dẫn giải

Ta sử dụng kiến thức:

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm $M$ thỏa mãn tính chất $\tau$ là một hình ${\rm H}$ nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất $\tau$ đều thuộc hình $\rm H.$

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình $\rm H$ đều có tính chất $\tau.$

Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm $M$ có tính chất $\tau$ là hình $\rm H.$

Thông thường với bài toán "Tìm quỹ tích..." ta nên dự đoán hình $\rm H$ trước khi chứng minh:

+) Tập hợp các điểm $M$ tạo với hai mút của đoạn thẳng $AB$ cho trước một góc $AMB$ bằng $\alpha$ $(\alpha$ không đổi $)$ là hai cung tròn đối xứng với nhau qua $AB$ (gọi là cung chứa góc $\alpha$ vẽ trên đoạn $AB$).

+)Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng $AB$ cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính $AB$.

Lời giải chi tiết

Chứng minh thuận:

Đường tròn $(O)$ cho trước, điểm $A$cố định nên $OA$ có độ dài không đổi.

$∆OBC$ cân tại $O$ (vì $OB = OC$ = bán kính)

$IB = IC \;\;(gt)$ nên $OI$ là đường trung tuyến vừa là đường cao

$\Rightarrow  OI ⊥ BC$

$\Rightarrow \widehat {OIA} = 90^\circ$

Đường thẳng $d$ thay đổi nên $B, C$ thay đổi thì $I$ thay đổi tạo với $2$ đầu đoạn $OA$ cố định góc $\widehat {OIA} = 90^\circ$. Vậy $I$ chuyển động trên đường tròn đường kính $OA.$

Chứng minh đảo:

Lấy điểm $I’$ bất kỳ trên đường tròn đường kính $AO.$ Đường thẳng $AI’$ cắt đường tròn (O) tại $2$ điểm $B’$ và $C’.$

Ta chứng minh: $I’B = I’C’.$

Trong đường tròn đường kính $AO$ ta có $\widehat {OI'A} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow  OI'⊥ B'C'$

$\Rightarrow  I'B' = I'C'$ (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm dây cung đó)

Vậy quỹ tích các điểm $I$ là trung điểm của dây $BC$ của đường tròn tâm $O$ khi $BC$ quay xung quanh điểm $A$ cố định là đường tròn đường kính $AO.$

-- Mod Toán 9 HỌC247