Toán 11 Cánh Diều Chương 7 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài toán tìm vận tốc tức thời

- Từ vị trí O, thả viên bi rơi tự do xuống đất và nghiên cứu chuyển động của viên bi. Chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống đất, gốc O là vị trí ban đầu của viên bi tại thời điểm 0s, và bỏ qua sức cản không khí, ta được phương trình chuyển động của viên bi là y = f(x) =\(1 \over 2\)gx² (g là gia tốc rơi tự do, g \(\approx \) 9,8 m/s²).

- Giả sử tại thời điểm x₀, viên bi ở vị trí M₀ có y₀ = f(x₀); tại thời điểm x₁ viên bi ở vị trí M₁ có y₁ = f(x₁). Khoảng thời gian từ x0 đến x₁ quãng đường viên bị đi được là M0.M1 = f(x1) - f(x0). Vậy vận tốc trung bình của viên bi trong khoảng thời gian đó là

\( \frac{{f\left( {x_1}\right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{{x_1}- {x_0}}}\)

- Nếu x1 − x0 càng nhỏ thì tỉ số trên càng phản ánh chính xác hơn sự nhanh chậm của viên bi tại thời điểm x0 . Từ đó, người ta xem giới hạn của tỉ số \(\frac{{f\left( {x_1}\right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{{x_1}- {x_0}}}\) khi x1 dần đến x0 là vận tốc tức thời tại thời điểm x0 của viên bị, kí hiệu là v(x0). Nói cách khác:

\(v({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( {x_1} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{{x_1} - {x_0}}}\)

- Giá trị \(v({x_0}) \) gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) =\(1 \over 2\)gx2 tại điểm \({x_0}\).

Bài toán tìm cường độ tức thời

- Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, Q = Q(t). Cường độ trung bình trong khoảng thời gian \(|t − {t_0}|\)  được xác định bởi công thức:

\( \frac{{Q\left( t \right) - Q\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}\)

- Nếu \(|t − {t_0}|\) càng nhỏ thì tỉ số này càng biểu thị chính xác hơn cường độ dòng điện tại thời điểm \({t_0}\). Người ta đưa ra định nghĩa sau đây:

- Giới hạn hữu hạn (nếu có) \( \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{Q\left( t \right) - Q\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}\) được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm \({t_0}\).

Nhận xét: Trong định nghĩa trên, ta đặt:

- \(\Delta x=x-{{x}_{0}}\) và gọi \(\Delta x\) là số gia của biến số tại điểm \({x_0}\).

- \(\Delta y=f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})\) và gọi \(\Delta y\) là số gia của hàm số ứng với số gia \(\Delta x\) tại điểm \({x_0}\). Khi đó, ta có:

\(f'({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}\)

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng (a ; b) và điểm \({{x}_{0}}\in (a;b)\).

Để tính đạo hàm \(f'({{x}_{0}})\) của hàm số \(y=f(x)\) tại \({x_0}\), ta lần lượt thực hiện:

- Đạo hàm xuất hiện trong nhiều khái niệm vật lí.

- Chẳng hạn: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t), với s = s(t) là một hàm số có đạo hàm. Như đã thấy trong bài toán mở đầu, vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \({t_0}\) là đạo hàm của hàm số tại \({t_0}\): \(v({t_0}) = s'({t_0})\).

Bài 1. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(f(x)=2x^2+3x+1\) tại \(x_0=-1.\)

b) \(f(x)=sinx\) tại \(x_0=\frac{\pi}{6}.\)

c) \(f(x) = \sqrt {2x - 1}\) với \(x>\frac{1}{2}.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(f(x)=2x^2+3x+1\)

\(\Delta x = x + 1 \Rightarrow x = - 1 + \Delta x\) và \(\Delta y = f( - 1 + \Delta x) - f( - 1) = 2{\left( {\Delta x} \right)^2} - \Delta x\)

Vậy: \(f'( - 1) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2{{\left( {\Delta x} \right)}^2} - \Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2\Delta x - 1} \right) = - 1.\)

b) \(f(x)=sinx\) 

\(\Delta x = x - \frac{\pi }{6} \Rightarrow x = \frac{\pi }{6} + \Delta x\)

\(\Delta y = f\left( {\frac{\pi }{6} + \Delta x} \right) - f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6} + \Delta x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 2\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)\)

\(f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\Delta x}}\)

\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}}\\ = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right).1 = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}. \end{array}\)

c) \(f(x) = \sqrt {2x - 1}\) với \(x>\frac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l} f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sqrt {2(x + \Delta x) - 1} - \sqrt {2x - 1} }}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\Delta x}}{{\left( {\sqrt {2(x + \Delta x) - 1} - \sqrt {2x - 1} } \right).\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2}{{\sqrt {2(x + \Delta x) - 1} - \sqrt {2x - 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {2x - 1} }}. \end{array}\)

Bài 2.

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại điểm (-1;2).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số \(y=x^2-2x+3\) biết:

TH1: Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(4x-2y+5=0.\)

TH2: Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x+4y=0.\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: 

\(\begin{array}{l} f'({x_0}) = f'( - 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 4}}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} ({x^2} - 4x + 4) = 9. \end{array}\)

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (-1;-2) là k=f'(-1)=9.

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (-1;2) là: \(y = 9(x + 1) - 2 = 9x + 7.\)

b) Gọi \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số \(y=x^2-2x+3\):

\(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left[ {{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2} - 2(x + \Delta x) + 3} \right] - \left[ {{x^2} - 2x + 3} \right]}}{{\Delta x}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( {2x + \Delta x} \right).\Delta x - 2.\Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2x + \Delta x - 2} \right) = 2x - 2.\)

TH1: Đường thẳng \(4x - 2y + 5 = 0 \Leftrightarrow y = 2x + \frac{5}{2}\) có hệ số góc k'=2.

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x-2y+5=0 nên có hệ số góc k=2.

Ta có: \(f'({x_0}) = 2 \Leftrightarrow 2{x_0} - 2 = 2 \Leftrightarrow {x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = f(2) = 3.\)

Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 2(x - 2) + 3 \Rightarrow y = 2x - 1.\)

TH2: Đường thẳng \(x + 4y = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{1}{4}x\) có hệ số góc \(k'=-\frac{1}{4}.\)

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến. Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+4y=0 nên: \(k.k' = - 1 \Rightarrow k = 4.\)

Ta có: \(f'({x_0}) = 4 \Leftrightarrow 2{x_0} - 2 = 4 \Leftrightarrow {x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = f(3) = 6.\)

Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 4(x - 3) + 6 \Rightarrow y = 4x - 6.\)

Học xong bài học này, em sẽ:

- Nhận biết một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm, định nghĩa đạo hàm.

- Tính đạo hàm của một số hàm đơn giản bằng định nghĩa.

- Nhận biết ý nghĩa hình học của đạo hàm. Thiết lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị.

- Vận dụng định nghĩa đạo hàm vào giải quyết một số bài toán thực tiễn.

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Cánh Diều Chương 7 Bài 1 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Xét ba mệnh đề sau:

      (1) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x=x\(_0\) thì f(x) liên tục tại điểm đó.

      (2) Nếu hàm số f(x) liên tục tại điểm x=x\(_0\) thì f(x) có đạo hàm tại điểm đó.

      (3) Nếu f(x) gián đoạn tạix=x\(_0\) thì chắc chắn f(x) không có đạo hàm tại điểm đó.

      Trong ba câu trên câu nào đúng, câu nào sai?

  • A. Có hai câu đúng và một câu sai.
  • B. Có một câu đúng và hai câu sai.
  • C. Cả ba đều đúng.
  • D. Cả ba đều sai.

• Câu 2:

  Cho hàm số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{x - 1}},\;x > 1}\\ {x - 1,\;x \le 1} \end{array}} \right.\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định bên dưới?

  • A. Hàm số liên tục tại x = 1.
  • B. Hàm số có đạo hàm tại x = 1.
  • C. f(0) = -2
  • D. f(-2) = -3

• Câu 3:

  Cho HS y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại điểm \(x_0\in\) (a; b). Các mệnh đề nào bên dưới đây đúng?

  • A. \(f'(x_0)=\mathop {\lim }\limits_{x \to {0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
  • B. \(f'(x_0)=\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
  • C. \(f'(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to {0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
  • D. \(f'(x_0)=\mathop {\lim }\limits_{x \to {+\infty}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 7 Bài 1 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 60 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 1 trang 61 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 2 trang 62 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Hoạt động 2 trang 62 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Luyện tập 3 trang 63 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 1 trang 63 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 2 trang 63 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 3 trang 63 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài 4 trang 63 SGK Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 1 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 2 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 3 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 4 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 5 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 6 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 7 trang 65 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 8 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Bài tập 9 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!