Bài tập 7.37 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT

Kẻ \(OM\) vuông góc với \(BC\) tại \(M,OH\) vuông góc với \(SM\) tại \(H\), ta chứng minh được \(OH \bot \left( {SBC} \right)\).

Vì \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên:

\(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2 \cdot d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = 2 \cdot OH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\),

Suy ra \({\rm{OH}} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{4}\).

Tam giác \(OBC\) vuông tại \(O\), có \(OB = a,OC = a\sqrt 3 \).

Và đường cao \(OM\) nên \(OM = \frac{{OB \cdot OC}}{{BC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\), đường cao \(OH\) nên:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{M^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}}\), suy ra \(SO = \frac{a}{2}\).

Vậy \({V_{S \cdot ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2a\sqrt 3 \cdot 2a \cdot \frac{a}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

-- Mod Toán 11 HỌC247