Giải bài 5 trang 69 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Phương pháp giải

+) Với mỗi góc \(\alpha ({0^o} \le \alpha  \le {180^o})\) có duy nhất điểm \(M({x_0};{y_0})\) trên nửa đường tròn đơn vị để \(\widehat {xOM} = \alpha .\) Khi đó:

\(\sin \alpha  = {y_0}\) là tung độ của M

\(\cos \alpha  = {x_0}\) là hoành độ của M

\(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}(\alpha  \ne {90^o})\)

\(\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}(\alpha  \ne {0^o},\alpha  \ne {180^o})\)

Lời giải chi tiết

a) Theo định nghĩa ta có \(\sin x = {y_0},\cos x = {x_0}\)

Với \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) là tọa độ điểm M sao cho \(\widehat {xOM} = x\)

Ta có \({x^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\)

\( \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\)

Mà \(0^\circ  \le x \le 90^\circ \) nên \(\sin x > 0\)

\( \Rightarrow \sin x = \sqrt {1 - {{\cos }^2}x} \)

b) Tương tự câu a) ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\\ \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x\end{array}\)

Mà \(0^\circ  \le x \le 90^\circ \) nên \(\cos x > 0\)\( \Rightarrow \cos x = \sqrt {1 - {{\sin }^2}x} \)

c) Với \({x_0} \ne 0\) ta có

 \(\tan x = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}} = \frac{{\sin x}}{{\cos x}},\cos x \ne 0\) 

\( \Rightarrow {\tan ^2}x = {\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right)^2} \Rightarrow {\tan ^2}x = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\)  (với \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 90^\circ \))   đpcm

c) Với \({y_0} \ne 0\) ta có

 \(\cot x = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x}},\sin x \ne 0\)  

\( \Rightarrow {\cot ^2}x = {\left( {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right)^2} \Rightarrow {\cot ^2}x = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\) (với \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0^\circ \))     đpcm

-- Mod Toán 10 HỌC247