Số n^2+2006 là số nguyên tố hay hợp số biết n là số nguyên tố lớn hơn 3?

Đáp án đề số 1

Câu 1:

Ta có: =

Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 điểm).

Rút gọn đúng cho 0,75 điểm.

b.Gọi d là ước chung lớn nhất của a² + a – 1 và a²+a +1 (0,25đ).

Vì a² + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ

Mặt khác, 2 = [ a²+a +1 – (a² + a – 1) ] d

Nên d = 1 tức là a² + a + 1 và a² + a – 1 nguyên tố cùng nhau. (0,5đ)

Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm)

Câu 2:

= 100a + 10 b + c = n² - 1 (1)

= 100c + 10 b + c = n² – 4n + 4 (2) (0,25đ)

Từ (1) và (2) 99(a – c) = 4 n – 5 4n – 5 99 (3) (0,25đ)

Mặt khác: 100 n²-1 999 101 n²1000 11n31 394n – 5 119 (4) ( 0,25đ)

Từ (3) và (4) 4n – 5 = 99 n = 26

Vậy: = 675 ( 0,25đ)

Câu 3: (2 điểm)

a) Giả sử n² + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n² + 2006 = a² ( aÎ Z) a² – n² = 2006 (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm).

+ Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm).

+ Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n)2 và (a+n) 2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*) (0,25 điểm).

Vậy không tồn tại n để n² + 2006 là số chính phương. (0,25 điểm).

b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3. Vậy n² chia hết cho 3 dư 1 do đó n² + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3.

Vậy n² + 2006 là hợp số. ( 1 điểm).

Bài 4: Mỗi câu đúng cho 1 điểm

Ta xét 3 trường hợp ; ; (0,5đ).

TH 1: a = b thì . (0,5đ).

TH 2: a > b a + n > b+ n.

Mà có phần thừa so với 1 là có phần thừa so với 1 là ,

vì nên (0,25đ).

TH3: a < b a + n < b + n.

Khi đó có phần bù tới 1 là , có phần bù tới 1 là ,

vì nên (0,25đ).

b) Cho A = ;

rõ ràng A < 1 nên theoa, nếu <1 thì > Þ A< (0,5đ).

Do đó A< = (0,5điểm).

Vây A<B.

Bài 5: Lập dãy số .

Đặt B₁ = a_1.

B₂ = a₁ + a₂ .

B₃ = a₁ + a₂ + a₃

...................................

B₁₀ = a₁ + a₂ + ... + a₁₀ .

Nếu tồn tại B_i ( i= 1,2,3...10). nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh. ( 0,25 điểm).

Nếu không tồn tại B_i nào chia hết cho 10 ta làm như sau:

Ta đen B_i chia cho 10 sẽ được 10 số dư ( các số dư Î { 1,2.3...9}). Theo nguyên tắc Diriclê, phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau. Các số B_m -B_n, chia hết cho 10 ( m>n) Þ ĐPCM.

Câu 6: Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng Þ có : 2005x 2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần Þ số giao điểm thực tế là:

(2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao điểm.