YOMEDIA
NONE

Chứng minh xyz chia hết cho 60 biết x^2+y^2=z^2

 cho x, y, z thuộc Z thoả mản x^2+y^2=z^2 CM xyz chia hết cho 60

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Ngọc Trâm Trần

    60 = 3.4.5
    Ta cần c/m xyz chia hết cho 3; 4 và 5.
    Xét x² + y² = z²

    * Giả sử cả x; y và z đều không chia hết cho 3.
    Khi đó x; y và z chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2 => x²; y² và z² chia cho 3 dư 1.
    => x² + y² ≡ 1 + 1 = 2 ( mod 3 )
    Vô lí vì z² ≡ 1 ( mod 3 )
    Vậy tồn tại ít nhất 1 số ⋮ 3, do đó xyz ⋮ 3 (♠)

    * Giả sử cả x; y và z không chia hết cho 4.
    Khi đó x; y và z chia cho 4 dư 1; 2 hoặc 3.
    *TH 1 : Cả x; y và z lẻ => x²; y² và z² chia 4 dư 1.
    => z² = x² + y² ≡ 1 + 1 = 2 ( mod 4 ) { loại }
    *TH 2 : Có ít nhất 2 số chẵn => xyz⋮ 4
    *TH 3 : Có 1 số chẵn và 2 số lẻ.
    ......+ Với x; y lẻ thì z² = x² + y² ≡ 1 + 1 = 2 ( mod 4 ) { loại do z chẵn nên z² ≡ 0 ( mod 4 )}
    ......+ Với x; z lẻ thì y² = z² - x² ≡ (z - x)(z + x). Ta có bảng sau :

    ........z...............x...........z-...
    ....4m+1.......4n+1.........4(m-n).......
    ....4m+3.......4n+1.......4(m-n)+2.......
    Các trường hợp khác tương tự. Ta luôn có y² = (z-x)(z+x)⋮8. Trong khi y²⋮4 nhưng không⋮8 => mâu thuẫn.

    Vậy tồn tại ít nhất 1 số⋮4 => xyz⋮4 (♣)

    * Giả sử cả x; y và z không chia hết cho 5.
    Khi đó x; y và z chia cho 5 dư 1; 2; 3 hoặc 4 => x²; y² và z² chia cho 5 dư 1 hoặc -1.
    + TH 1 : x² ≡ 1 ( mod 5 ); y² ≡ 1 ( mod 5 ) => z² = x² + y² ≡ 2 ( mod 5 ) { loại }
    + TH 2 : x² ≡ -1 ( mod 5 ); y² ≡ -1 ( mod 5 ) => z² = x² + y² ≡ -1 ( mod 5 ) { loại }
    + TH 3 : x² ≡ 1 ( mod 5 ); y² ≡ -1 ( mod 5 ) => z² = x² + y² ≡ 0 ( mod 5 ) { loại }

    Vậy tồn tại ít nhất 1 số⋮5 => xyz⋮5 (♦)
    Từ (♠); (♣) và (♦) => xyz⋮3.4.5 = 60 ( đpcm )

      bởi Ngọc Trâm Trần 17/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 6

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON