Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với \(\alpha ,a,b\) là những số cho trước. Xét phép biến hình F biến mỗi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thành điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\), trong đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos \alpha - ysin\alpha + a\\y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha + b\end{array} \right.\)

a) Phép biến hình F biến \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right),N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) tương ứng thành \(M'\left( {x_1';y_1'} \right),N'\left( {x_2';y_2'} \right)\), với:

\(\left\{ \begin{array}{l}x_1' = {x_1}\cos \alpha  - {y_1}\sin \alpha  + a\\y_1' = {x_1}\sin \alpha  + {y_1}\cos \alpha  + b\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}x_2' = {x_2}\cos \alpha  - {y_2}\sin \alpha  + a\\y_2'= {x_2}\sin \alpha  + {y_2}\cos \alpha  + b\end{array} \right.\)

Ta có: \(MN = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \)

Xét: \(M'N' = \sqrt {{{\left( {x_2' - x_1'} \right)}^2} + {{\left( {y_2^/ - y_1'} \right)}^2}} \)

\(\begin{array}{l} = \sqrt {{{\left[ {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\cos \alpha  - \left( {{y_2} - {y_1}} \right)\sin \alpha } \right]}^2} + {{\left[ {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\sin \alpha  + \left( {{y_2} - {y_1}} \right)\cos \alpha } \right]}^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\cos }^2}\alpha  + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}{{\sin }^2}\alpha  + {{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}{{\sin }^2}\alpha  + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}{{\cos }^2}\alpha } \\ = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}\left( {{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha } \right) + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}\left( {{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha } \right)} \\ = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}}  = MN\end{array}\)

Kết luận: Vậy phép biến hình F là phép dời hình.

b) Khi \(\alpha  = 0\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\)

Hay: \(M(x;y)\)\(M'(x+a;y+b)\) 

Vậy F là phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow v  = \left( {a;b} \right).\)