Tính góc giữa SD và mp (ABC) biết hình chóp S.ABCD có SB ⊥(ABCD)

bởi Trần Bảo Việt 25/10/2018

Cho hình chóp S.ABCD có SB⊥(ABCD); SB=\(a\sqrt{3}\) ; ABCD là hình thoi cạnh a có góc A=60độ.

a) vẽ hình, chứng minh AC⊥(SBD)

b) chứng minh: △SID vuông, biết I là trung điểm của AB

c) tính \(\overrightarrow{BD}\) * \(\overrightarrow{SC}\)

d) tính góc giữa SD và (ABC); BD VÀ (SAC)

Câu trả lời (1)

  • Lời giải:

    a)

    Vì $ABCD$ là hình thoi nên \(AC\perp BD\) (1)

    \(SB\perp (ABCD); AC\subset (ABCD)\Rightarrow SB\perp AC\) (2)

    Từ \((1); (2)\Rightarrow AC\perp (SBD)\)

    Ta có đpcm.

    b)

    Thấy tam giác $ABD$ cân tại $A$ do $AB=AD$ mà góc $A$ bằng $60^0$ nên là tam giác đều.

    Do đó \(BD=AB=a\)

    Đường trung tuyến $DI$ đồng thời là đường cao nên áp dụng định lý Pitago:

    \(DI=\sqrt{AD^2-AI^2}=\sqrt{AD^2-(\frac{AB}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)

    Theo định lý Pitago cũng có:

    \(SI=\sqrt{SB^2+BI^2}=\sqrt{SB^2+(\frac{AB}{2})^2}=\frac{\sqrt{13}a}{2}\)

    \(SD=\sqrt{SB^2+BD^2}=\sqrt{3a^2+a^2}=2a\)

    Từ các kết quả trên có \(SI^2+ID^2=SD^2\) nên theo định lý Pitago đảo thì tam giác $SID$ vuông tại $I$

    c)

    Có:

    \(\overrightarrow {BD}.\overrightarrow{SC}=\overrightarrow {BD}(\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{BC})\) \(=\overrightarrow {BD}.\overrightarrow{SB}+\overrightarrow {BD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}\)

    (do \(SB\perp BD\Rightarrow \overrightarrow {BD}.\overrightarrow {SB}=\overrightarrow{0}\) )

    Lại có: \(\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow {BC}|\cos (BD, BC)\)

    \(=a^2\cos \widehat{DBC}=a^2\cos 60^0=\frac{a^2}{2}\)

    Suy ra \(\overrightarrow {BD}.\overrightarrow{SC}=\frac{a^2}{2}\)

    d) Vì $SB$ vuông góc với mặt phẳng đáy nên:

    \(\angle (SD, (ABC))=\angle (SD, BD)=\widehat{SDB}\)

    \(\tan \widehat{SDB}=\frac{SB}{BD}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\)

    \(\Rightarrow \angle (SD, (ABC))=\widehat{SDB}=60^0\)

    ------------

    Gọi $N$ là giao điểm của $BD$ và $AC$

    \(\angle (BD,(SAC))=\angle (BN, (SAC))=\angle (BN,SN)=\widehat{BNS}\)

    \(\tan \widehat{BNS}=\frac{BS}{BN}=\frac{a\sqrt{3}}{\frac{a}{2}}=2\sqrt{3}\)

    \(\Rightarrow \angle (BD, (SAC))= \widehat{BNS}=\arctan 2\sqrt{3}\)

    bởi Nguyen Hai 25/10/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Gửi câu trả lời Hủy

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan