Hãy tính giá trị gần đúng (chính xác đến hàng phần trăm) nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho: \(\cos {x \over 2} = {{\sqrt 2 } \over 3}\) trong khoảng \(\left( {2\pi ;4\pi } \right)\)

Đặt \(y = {x \over 2}\) thì:

\(2\pi  < x < 4\pi  \Leftrightarrow \pi  < y < 2\pi \)

Ta có phương trình \(\cos y = {{\sqrt 2 } \over 3}.\)

Do \(0 < {{\sqrt 2 } \over 3} < 1\) nên phương trình \(\cos y = {{\sqrt 2 } \over 3}\) có duy nhất một nghiệm \(y = \alpha \) thuộc khoảng \(\left( {\pi ;2\pi } \right)\) (có thể thấy rõ điều này trên đường tròn lượng giác).

Vậy trong khoảng \(\left( {2\pi ;4\pi } \right),\) phương trình đã cho tương đương với phương trình \({x \over 2} = \alpha ,\)

Do đó có một nghiệm duy nhất \(x = 2\alpha .\)

Để tính giá trị gần đúng của \(\alpha ,\) ta làm như sau:

Dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta tìm được số \(\beta \) thỏa mãn \(0 < \beta  < \pi \) và \(\cos \beta  = {{\sqrt 2 } \over 3}\).

(Cụ thể \(\beta  = \arccos {{\sqrt 2 } \over 3} \approx 1,080\)).

Khi đó, dễ thấy \(2\pi  - \beta \) thỏa mãn \(\pi  < 2\pi  - \beta  < 2\pi \) và \(\cos \left( {\pi  - \beta } \right) = \cos \beta  = {{\sqrt 2 } \over 3},\) nghĩa là \(\alpha  = 2\pi  - \beta .\)

Vì \(\beta  \approx 1,080\) nên giá trị gần đúng nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 2\alpha  \approx 10,41.\)