Hãy lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số sau \(y = \frac{{3x - 2}}{{x - 1}}\) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng \(d:y = -x + 25.\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Ta có \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Gọi \(M\left( {{x_0};\frac{{3{x_0} - 2}}{{{x_0} - 1}}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số.

Khi đó phương trình tiếp tuyến tại M là: \(y =  - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{3{x_0} - 2}}{{{x_0} - 1}}\) \(\left( \Delta  \right)\).

Vì \(\Delta \parallel d\) nên \( - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} =  - 1\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = 1\)  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} - 1 = 1\\{x_0} - 1 =  - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = 0\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)  

+ Với \({x_0} = 2\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến: \(y =  - 1\left( {x - 2} \right) + 4\) \( \Rightarrow y =  - x + 6\).

+ Với \({x_0} = 0\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến: \(y =  - 1\left( {x - 0} \right) + 2\) \( \Rightarrow y =  - x + 2\).

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(y =  - x + 6\) và \(y =  - x + 2\).