Hãy định giá trị của \(a\) để hàm số sau đây liên tục tại \({x_0} = - 4\): \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + 4}}{{\sqrt {x + 13} - 3}}\,\,\,\left( {x > - 4} \right)\\{x^2} + 2a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x \le - 4} \right)\end{array} \right.\)

 Định \(a\) để hàm số sau đây liên tục tại \({x_0} =  - 4\):

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + 4}}{{\sqrt {x + 13}  - 3}}\,\,\,\left( {x >  - 4} \right)\\{x^2} + 2a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x \le  - 4} \right)\end{array} \right.\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ + }} f\left( x \right)\)

\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ + }} \frac{{x + 4}}{{\sqrt {x + 13}  - 3}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ + }} \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {\sqrt {x + 13}  + 3} \right)}}{{x + 13 - 9}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ + }} \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {\sqrt {x + 13}  + 3} \right)}}{{x + 4}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ + }} \left( {\sqrt {x + 13}  + 3} \right)\\ = \sqrt {\left( { - 4} \right) + 13}  + 3 = 6\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ - }} f\left( x \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ - }} \left( {{x^2} + 2a} \right)\\ = {\left( { - 4} \right)^2} + 2a = 2a + 16\end{array}\)

\(f\left( { - 4} \right) = {\left( { - 4} \right)^2} + 2a\) \( = 2a + 16\)

Để hàm số đã cho liên tục tại \({x_0} =  - 4\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ - }} f\left( x \right)\) \( = f\left( { - 4} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2a + 16 = 6\\ \Leftrightarrow 2a =  - 10\\ \Leftrightarrow a =  - 5\end{array}\)

Vậy \(a =  - 5\) là giá trị cần tìm.