Gọi \(S\) là tập nghiệm của phương trình \(2{{\log }_{2}}\left( 2x-2 \right)+{{\log }_{2}}{{\left( x-3 \right)}^{2}}=2\) trên \(\mathbb{R}\). Tổng các phần tử của \(S\) bằng

Chọn A

Điều kiện xác định của phương trình là

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 2x - 2 > 0\\ {\left( {x - 3} \right)^2} > 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 1\\ x \ne 3 \end{array} \right. \end{array}\) (*)

Với điều kiện (*) phương trình \(2{{\log }_{2}}\left( 2x-2 \right)+{{\log }_{2}}{{\left( x-3 \right)}^{2}}=2\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{\left( 2x-2 \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}{{\left( x-3 \right)}^{2}}=2\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ {{\left( 2x-2 \right)}^{2}}{{\left( x-3 \right)}^{2}} \right]=2\)

\(\Leftrightarrow {{\left[ \left( 2x-2 \right)\left( x-3 \right) \right]}^{2}}=4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left( {2x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 2\\ \left( {2x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = - 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2{x^2} - 8x + 4 = 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 1 \right)\\ 2{x^2} - 8x + 8 = 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 2 \right) \end{array} \right. \end{array}\)

Phương trình (1) có các nghiệm \(x=2+\sqrt{2}\,\,\,\left( N \right);\,\,\,x=2-\sqrt{2}\,\,\,\left( L \right)\)

Phương trình (2) có nghiệm \(x=2\,\,\left( N \right)\).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S=\left\{ 2+\sqrt{2};\,\,2 \right\}\). Tổng các nghiệm bằng \(4+\sqrt{2}\).