YOMEDIA
NONE

Giả sử hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\) đều liên tục trên đoạn [0; 1] và \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right)\) Chứng minh rằng phương trình \(f\left( x \right) - f\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\).

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\)

    Ta có

    \(\eqalign{
    & g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) - f\left( {0 + {1 \over 2}} \right) \cr 
    & = f\left( 0 \right) - f\left( {{1 \over 2}} \right) \cr 
    & g\left( {{1 \over 2}} \right) = f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( {{1 \over 2} + {1 \over 2}} \right) \cr 
    & = f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( 1 \right) \cr 
    & = f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( 0 \right) \cr} \)

    (vì theo giả thiết \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right)\)).

    Do đó,

    \(\eqalign{
    & g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) \cr &= \left[ {f\left( 0 \right) - f\left( {{1 \over 2}} \right)} \right]\left[ {f\left( {{1 \over 2}} \right) - f\left( 0 \right)} \right] \cr 
    & = - {\left[ {f\left( 0 \right) - f\left( {{1 \over 2}} \right)} \right]^2} \le 0. \cr}\)

    - Nếu \(g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) = 0\) thì x = 0 hay \(x = {1 \over 2}\) là nghiệm của phương trình \(g\left( x \right) = 0\)

    - Nếu \(g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) < 0\)   (1)

    Vì \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\) đều liên tục trên đoạn [0; 1] nên hàm số \(y = g\left( x \right)\) cũng liên tục trên [0; 1] và do đó nó liên tục trên \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\)    (2)

    Từ (1) và (2) suy ra phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\)

    Kết luận : Phương trình \(g\left( x \right) = 0\) hay \(f\left( x \right) - f\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\).

      bởi thủy tiên 01/03/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF