Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn

Ta có: \(5\left( {{25}^{y}}+2y \right)\)\( =x+{{\log }_{5}}{{\left( x+1 \right)}^{5}}-4\)\( \Leftrightarrow 5{{\log }_{5}}\left( x+1 \right)+x+1\)\( ={{5}^{2y+1}}+5\left( 2y+1 \right)\). \(\left( 1 \right)\)

Đặt \({{\log }_{5}}\left( x+1 \right)=t\)\( \Rightarrow x+1={{5}^{t}}\).

Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \(5t+{{5}^{t}}\)\( =5\left( 2y+1 \right)+{{5}^{2}}^{y+1}\) \(\left( 2 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( u \right)=5u+{{5}^{u}}\) trên \(\mathbb{R}\).

\({f}'\left( u \right)=5+{{5}^{u}}\ln 5>0\,,\,\forall u\in \mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( u \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó \(\left( 2 \right)\)\( \Leftrightarrow f\left( t \right)=f\left( 2y+1 \right)\Leftrightarrow t=2y+1\)\(\Rightarrow {{\log }_{5}}\left( x+1 \right)=2y+1\)\( \Leftrightarrow x+1={{5}^{2y+1}}\)\( \Leftrightarrow x={{5.25}^{y}}-1\)

Vì \(0\le x\le 4000\)\( \Rightarrow 0\le {{5.25}^{y}}-1\le 4000\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{5}\le {{25}^{y}}\le \frac{4001}{5}\)\( \Leftrightarrow \frac{-1}{2}\le y\le {{\log }_{25}}\frac{4001}{5}\approx 2.08\)

Do \(y\in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow y\in \left\{ 0\,,\,1\,,\,2\, \right\}\), có 3 giá trị của y nên cũng có 3 giá trị của \(x\)

Vậy có 3 cặp số nguyên \(\left( x\,;\,y \right)\).