Cm MN vuông góc A'C biết hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh =1

Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}\) ,\(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{c}\) 

Với \(\begin{cases}\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=1\\\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}=0\end{cases}\)

Suy ra \(\overrightarrow{A'C}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\)

Từ giả thiết suy ra \(\frac{AM}{AD}=\frac{B'N}{B'B}\)

Do đó

\(\overrightarrow{AM}=k.\overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{a}+\left(1-k\right).\overrightarrow{c}\)

Ở đây, \(k=\frac{AM}{AD}=\frac{B'N}{B'B}\)

Suy ra :

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}-k.\overrightarrow{b}+\left(1-k\right).\overrightarrow{c}\)

Khi đó :

\(\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{A'C}=\left(\overrightarrow{a}-k.\overrightarrow{b}+\left(1-k\right).\overrightarrow{c}\right).\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\)

                  \(=1-k+k-1=0\)

Do đó : \(MN\perp A'C\)