Chứng minh AB'A'C' là hình bình hành biết ABC', CAB' là các tam giác cân đồng dạng

Gọi D, E và F theo thứ tự là trung điểm các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC. Ta có :

\(\overrightarrow{AB'}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB'}=\frac{1}{2}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{EB'}\)

\(\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FC'}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{FC'}\)

\(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA'}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{DA}\)

Do đó, điều phải chứng minh tương đương với 

\(\overrightarrow{AB'}=\overrightarrow{FC'}=\overrightarrow{DA'}\)

Giả sử tam giác ABC định hướng dương. Gọi \(f\) là phép quay vec tơ theo góc \(\frac{\pi}{2}\) và 

\(k=\cot\widehat{B'AC}=\cot\widehat{C'AB}\)

Ta có

\(f\left(\overrightarrow{EB'}+\overrightarrow{FC'}\right)=f\left(\overrightarrow{EB'}\right)+f\left(\overrightarrow{FC'}\right)\)

                           \(=k\overrightarrow{EA}+k\overrightarrow{AF}=\frac{k}{2}\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\) (do \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=0\) )

                           \(=\frac{k}{2}\overrightarrow{CB}=k\overrightarrow{DB}=f\left(\overrightarrow{DA'}\right)\)

Suy ra điều cần chứng minh