Chứng minh (1+x)^n>=1+nx
cho số thực x>-1 . chứng minh rằng : (1+x)n≥1+nx với mọi số nguyên dương n
Trả lời (2)
-
Giao lưu:
\(\left\{\begin{matrix}x>-1\\n\in N\\\left(1+x\right)^n\ge\left(1+nx\right)\end{matrix}\right.\)(I)
-khi n=0 ta có 1=1 vẫn đúng => đúng với mọi n là số không âm {sao đề loại n=0 đi nhỉ}
-với x>-1 => 1+x> 0
vói x=0 ta có 1^n>=1 hiển nhiên đúng
{Ta cần c/m với mọi x khác 0 và x>-1}
C/M: Bằng quy nạp
với n=1 ta có: (1+x)>=(1+x) hiển nhiên.
G/s: (I) đúng với n=k tức là (1+x)^k>=(1+kx)
Ta cần c/m (I) đúng với (k+1)
với n=(k+1) ta có \(\left(1+x\right)^{k+1}\ge\left[1+\left(k+1\right)x\right]\)(*)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(1+x\right)^k\ge1+kx+x\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(1+kx\right)\ge1+kx+x\)
\(\Leftrightarrow\left(1+kx\right)+x+kx^2\ge1+kx+x\Leftrightarrow kx^2\ge0\)(**)
Mọi phép biến đổi là tương đương (**) đúng => (*) đúng
=> dpcm.
bởi Hằng Thanh 01/10/2018Like (0) Báo cáo sai phạm -
Giao lưu:
\(\left\{\begin{matrix}x>-1\\n\in N\\\left(1+x\right)^n\ge1+nx\end{matrix}\right.\) (I)
\(x>-1\Rightarrow\left(1+x\right)>1\Rightarrow\left(1+x\right)^n>1voi\forall n\in N\)
với x=0 1^n>=1 luôn đúng ta cần c/m với x khác 0
\(\left\{\begin{matrix}n=1\Rightarrow\left(1+x\right)^1\ge\left(1+x\right)...\left\{dung\right\}\\n=2\Rightarrow\left(1+x\right)^2\ge\left(1+2x\right)...\left\{dung\right\}\\n=2\Rightarrow\left(1+x\right)^3\ge\left(1+3x\right)...\left\{dung\right\}\end{matrix}\right.\)
C/m bằng phản chứng:
Giả /sủ từ giá trị (k+1) nào đó ta có điều ngược lại (*)
Nghĩa là: khi n đủ lớn BĐT (I) không đúng nữa. và chỉ đúng đến (n=k)(**)
Như vậy coi (**) đúng và ta chứng minh (*) là sai .
với n=k ta có: \(\left(1+x\right)^k\ge\left(1+kx\right)\) (1) theo (*)
vói n=(k+1) ta có theo (**)
\(\left(1+x\right)^{k+1}\le\left[1+\left(k+1\right)x\right]\Leftrightarrow\left(1+x\right)\left(1+x\right)^k\le\left[1+kx+x\right]\)(2)
chia hai vế (2) cho [(1+x)>0 {do x>-1}] BĐT không đổi
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(1+x\right)^k\le\frac{\left[\left(1+kx\right)+x\right]}{1+x}\) từ (1)=> \(\frac{1+kx+x}{x+1}\ge\left(1+x\right)^k\ge\left(1+kx\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\left(1+kx\right)+x}{x+1}\ge\left(1+kx\right)\Leftrightarrow\left(1+kx\right)+x\ge\left(1+kx\right)+x+kx^2\)(3)
\(\left(3\right)\Leftrightarrow\left[\left(1+kx\right)+x\right]-\left[\left(1+kx\right)+x\right]\ge kx^2\)\(\Leftrightarrow0\ge kx^2\) (***)
{(***) đúng chỉ khi x=0 ta đang xét x khác 0} vậy (***) sai => (*) sai
ĐIều giả sử sai--> không tồn tại giá trị (k+1) --> làm BĐT đổi chiều:
=> đpcm
bởi Đỗ Việt Hoàng 02/10/2018Like (0) Báo cáo sai phạm
Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng
Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!
Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản
Các câu hỏi mới
-
21/11/2022 | 1 Trả lời
-
20/11/2022 | 1 Trả lời
-
21/11/2022 | 1 Trả lời
-
20/11/2022 | 1 Trả lời
-
20/11/2022 | 1 Trả lời
-
20/11/2022 | 1 Trả lời
-
20/11/2022 | 1 Trả lời
-
20/11/2022 | 1 Trả lời
-
21/11/2022 | 1 Trả lời
-
21/11/2022 | 1 Trả lời
-
21/11/2022 | 1 Trả lời
-
21/11/2022 | 1 Trả lời
-
21/11/2022 | 1 Trả lời
-
21/11/2022 | 1 Trả lời
-
21/11/2022 | 1 Trả lời
-
20/11/2022 | 1 Trả lời
-
20/11/2022 | 1 Trả lời
-
Khai triển nhị thức của new tơn(2x 1)¹⁰
24/11/2022 | 0 Trả lời
-
Có bao nhiêu cách chia 9 người làm 3 nhóm, mỗi nhóm 3 người?
26/11/2022 | 2 Trả lời
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD), AB là đáy lớn. I,J lần
lượt là trung điểm của SA, SB. M thuộc cạnh SD.a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
b) Chứng minh rằng: IJ // (SCD).
c) Tìm giao điểm của SC và mặt phẳng (IJM).
Vẽ hình luôn giúp em . Em cảm ơn
04/12/2022 | 0 Trả lời
-
Giải dùm mình với ạ
07/12/2022 | 0 Trả lời
-
cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O . gọi M,N lần lượt là hai điểm nằm trên cạnh SB,SD sao cho SB=4MB ; SD=4ND. Gọi P là điểm đối xứng với O qua C . chứng minh
21/12/2022 | 0 Trả lời
-
Tập xác định của hàm sô y= 3cot.x + cos.2x là gì ?
21/12/2022 | 0 Trả lời
-
Giúp em với ạ cần gấp!!!
24/12/2022 | 0 Trả lời
-
Giải thích dùm em với
26/12/2022 | 0 Trả lời