Chứng minh (1+x)^n>=1+nx

cho số thực x>-1 . chứng minh rằng : (1+x)ⁿ $\geq$ 1+nx với mọi số nguyên dương n

Theo dõi Vi phạm

Toán 11 Chương 3 Bài 1 Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3 Bài 1 Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 1

Trả lời (2)

Giao lưu:

$\left\{\begin{matrix}x>-1\\n\in N\\\left(1+x\right)^n\ge\left(1+nx\right)\end{matrix}\right.$(I)

-khi n=0 ta có 1=1 vẫn đúng => đúng với mọi n là số không âm {sao đề loại n=0 đi nhỉ}

-với x>-1 => 1+x> 0

vói x=0 ta có 1^n>=1 hiển nhiên đúng

{Ta cần c/m với mọi x khác 0 và x>-1}

C/M: Bằng quy nạp

với n=1 ta có: (1+x)>=(1+x) hiển nhiên.

G/s: (I) đúng với n=k tức là (1+x)^k>=(1+kx)

Ta cần c/m (I) đúng với (k+1)

với n=(k+1) ta có $\left(1+x\right)^{k+1}\ge\left[1+\left(k+1\right)x\right]$(*)

$\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(1+x\right)^k\ge1+kx+x\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(1+kx\right)\ge1+kx+x$

$\Leftrightarrow\left(1+kx\right)+x+kx^2\ge1+kx+x\Leftrightarrow kx^2\ge0$(**)

Mọi phép biến đổi là tương đương (**) đúng => (*) đúng

=> dpcm.

bởi Hằng Thanh 01/10/2018

Like (0) Báo cáo sai phạm

YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Giao lưu:

$\left\{\begin{matrix}x>-1\\n\in N\\\left(1+x\right)^n\ge1+nx\end{matrix}\right.$ (I)

$x>-1\Rightarrow\left(1+x\right)>1\Rightarrow\left(1+x\right)^n>1voi\forall n\in N$

với x=0 1^n>=1 luôn đúng ta cần c/m với x khác 0

$\left\{\begin{matrix}n=1\Rightarrow\left(1+x\right)^1\ge\left(1+x\right)...\left\{dung\right\}\\n=2\Rightarrow\left(1+x\right)^2\ge\left(1+2x\right)...\left\{dung\right\}\\n=2\Rightarrow\left(1+x\right)^3\ge\left(1+3x\right)...\left\{dung\right\}\end{matrix}\right.$

C/m bằng phản chứng:

Giả /sủ từ giá trị (k+1) nào đó ta có điều ngược lại (*)

Nghĩa là: khi n đủ lớn BĐT (I) không đúng nữa. và chỉ đúng đến (n=k)(**)

Như vậy coi (**) đúng và ta chứng minh (*) là sai .

với n=k ta có: $\left(1+x\right)^k\ge\left(1+kx\right)$ (1) theo (*)

vói n=(k+1) ta có theo (**)

$\left(1+x\right)^{k+1}\le\left[1+\left(k+1\right)x\right]\Leftrightarrow\left(1+x\right)\left(1+x\right)^k\le\left[1+kx+x\right]$(2)

chia hai vế (2) cho [(1+x)>0 {do x>-1}] BĐT không đổi

$\left(2\right)\Leftrightarrow\left(1+x\right)^k\le\frac{\left[\left(1+kx\right)+x\right]}{1+x}$ từ (1)=> $\frac{1+kx+x}{x+1}\ge\left(1+x\right)^k\ge\left(1+kx\right)$

$\Rightarrow\frac{\left(1+kx\right)+x}{x+1}\ge\left(1+kx\right)\Leftrightarrow\left(1+kx\right)+x\ge\left(1+kx\right)+x+kx^2$(3)

$\left(3\right)\Leftrightarrow\left[\left(1+kx\right)+x\right]-\left[\left(1+kx\right)+x\right]\ge kx^2$$\Leftrightarrow0\ge kx^2$ (***)

{(***) đúng chỉ khi x=0 ta đang xét x khác 0} vậy (***) sai => (*) sai

ĐIều giả sử sai--> không tồn tại giá trị (k+1) --> làm BĐT đổi chiều:

=> đpcm

bởi Đỗ Việt Hoàng 02/10/2018

Like (0) Báo cáo sai phạm