Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho đường thẳng \(d:y = x + m - 1\) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn \(AB = 2\sqrt 3 \).

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = x + m - 1 \Leftrightarrow 2x + 1 = {x^2} + mx + m - 1\;(x \ne  - 1)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + (m - 2)x + m - 2 = 0\;(x \ne  - 1)\) (1).

Đường thẳng \(d:y = x + m - 1\) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác - 1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta  = {(m - 2)^2} - 4(m - 2) = (m - 2)(m - 6) > 0\\
1 - m + 2m - 2 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 6\\
m < 2
\end{array} \right.\\
\forall m \in R
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 6\\
m < 2
\end{array} \right.\) (2).

Khi đó áp dụng định lý viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_A} + {x_B} = 2 - m\\
{x_A}.{x_B} = m - 2
\end{array} \right.\)

Lại có: \({y_A} = {x_A} + m - 1;\;{y_B} = {x_B} + m - 1.\)

Khi đó: \(AB = 2\sqrt 3  \Leftrightarrow {({x_A} - {x_B})^2} + {({y_A} - {y_B})^2} = 12 \Leftrightarrow 2{({x_A} - {x_B})^2} = 12 \Leftrightarrow {({x_A} + {x_B})^2} - 4{x_A}{x_B} = 6\)

\( \Leftrightarrow {(2 - m)^2} - 4(m - 2) = 6 \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 6 = 0 \Leftrightarrow m = 4 \pm \sqrt {10} \) thỏa mãn (2).

Vậy \(m = 4 \pm \sqrt {10} \).