Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết diện tích tam giác ABC bằng 25

\(\overrightarrow{AB}=(-7;-1)\) là véc tơ chỉ phương của AB nên véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(1;-7)\Rightarrow\) phương trình AB: \(1(x - 4) - 7(y - 2) = 0\Leftrightarrow x-7y+10=0\)

\(C \in (d)\Rightarrow C(c;-c)(c> 0)\)

\(\Rightarrow d(C,AB)=\frac{\left | c+7c+10 \right |}{\sqrt{1^{2}+7^{2}}}=\frac{\left | 8c+10 \right |}{\sqrt{50}};AB=\sqrt{50}\)

Diện tích tam giác ABC bằng 25 nên ta có

\(S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}d(C,AB)=\frac{\left | 8c+10 \right |}{2\sqrt{50}}.\sqrt{50}=25\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} c=5\\c=-\frac{15}{2}< 0 \end{matrix}\Rightarrow C(5;-5)\)

Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là:

\((C):x^{2}+y^{2}-2ax-2by+c=0\; (a^{2}+b^{2}-c> 0)\)

Do A, B, C nằm trên (C) nên ta có hệ

\(\left\{\begin{matrix} 4^{2}+2^{2}-8a-4b+c=0\\(-3)^{2}+1^{2}+6a-2b+c=0 \\5^{2}+(-5)^{2}-10a+10b+c=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -8a-4b+c=-20\\6a-2b+c=-10 \\-10a+10b+c=-50 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\b=-2 \\c=-20 \end{matrix}\right.\Rightarrow\) Phương trình đường tròn (C): \(x^{2}+y^{2}-2x+4y-20=0\)