Viết phương trình đường thẳng AB của tam giác ABC

+ Gọi N là trung điểm của AB thì MN là trung trực của đoạn AB do đó GB = GA (= GD).

Nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, mà góc \(\widehat{ABM}=45^{\circ}\) nên \(\widehat{AGD}=90^{\circ}\)

+ \(AG=GD=d(D,AG)=\frac{\left | 3.7+2-13 \right |}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}.\)

Gọi tọa độ điểm A(a; 3a - 13) ta có:

\(AD=\sqrt{2}AG\Rightarrow \sqrt{(a-7)^{2}+(3a-13+2)^{2}}=\sqrt{20}\)

\(\Leftrightarrow (a-7)^{2}+(3a-11)^{2}=20\Leftrightarrow 10a^{2}-80a+150=0\)

\(\Leftrightarrow \lbrack\begin{matrix} a=5(l)\\a=3(tm) \end{matrix}\)

a = 3 => A(3; -4)

+ Ta có: \(NG=\frac{1}{3}NA\Rightarrow \cos \widehat{BAG}=\frac{AN}{AG}=\frac{3}{\sqrt{10}}\)

Gọi véc tơ pháp tuyến của AB là \(\overrightarrow{n}(a,b),a^{2}+b^{2}\neq 0\)

\(\cos \widehat{BAG}=\left | \cos (\overrightarrow{n},\overrightarrow{n_{AG}}) \right |=\frac{\left | 3a-b \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\)

\(\Rightarrow 9a^{2}-6ab+b^{2}=9(a^{2}+b^{2})\)

\(\Leftrightarrow 6ab+8b^{2}=0\Leftrightarrow \lbrack\begin{matrix} b=0\\3a=-4b \end{matrix}\)

Với b = 0 chọn a = 1, phương trình cạnh AB là x - 3 = 0 (thỏa mãn)

Với 3a = -4b chọn a = 4 => b = -3, phương trình cạnh AB là:

\(4(x-4)-3(y+4)=0\Leftrightarrow 4x-3y-24=0\) (loại)

Vậy phương trình cạnh AB là x - 3 = 0.