Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (T) có phương trình \(4x^2+4y^2-58x-5y+54=0\)

Gọi F là trung điểm của MC. Khi đó DF, EF lần lượt là đường trung bình của các tam giác BCM và CMN. Mà theo giả thiết BM = CN nên suy ra DF = FE hay \(\Delta\)DEF cân tại F.
Mặt khác ta có: \(\Delta FDE\sim \Delta APQ(g.g)\) nên \(\Delta APQ\) cân tại A
Vậy A thuộc đường trung trực đoạn PQ .
Ta có phương trình đường trung trực của PQ: x = 1 
Suy ra tọa độ A là nghiệm của hệ:
\(\left\{\begin{matrix} 4x^2+4y^2-58x-5y+54=0\\ x=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ \\ \bigg \lbrack\begin{matrix} y=0\\ y=\frac{5}{4} \end{matrix} \end{matrix}\right.\)
Do \(y_A\in\mathbb{Z}\) nên ta chỉ nhận A(1;0) 
AB đi qua A(1;0) và \(P(\frac{3}{2};1)\) nên phương trình AB: 2x - y - 2 = 0 
AC đi qua A(1;0) và \(Q(\frac{1}{2};1)\) nên phương trình AB: 2x + y - 2 = 0
Suy ra tọa độ B là nghiệm của hệ: 
\(\left\{\begin{matrix} 4x^2+4y^2-58x-5y+54=0\\ 2x-y-2=0 \end{matrix}\right. \Rightarrow C(4;6)\)
Tọa độ C là nghiệm của hệ: 
\(\left\{\begin{matrix} 4x^2+4y^2-58x-5y+54=0\\ 2x+y-2=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow C(3;-4)\)