Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, có hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - y - 1 = 0\) và \({\Delta _2}:x + my + 2 = 0\). Xác định giá trị của m biết rằng góc giữa hai đường thẳng đã cho bằng \({45^o}\).

Ta có: \({\Delta _1}\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 1} \right)\) là một VTPT

          \({\Delta _2}\) nhận \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;m} \right)\) là một VTPT

Góc giữa hai đường thẳng đã cho bằng \({45^o}\)\( \Leftrightarrow \) \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \cos {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\(\begin{array}{l}\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 1} \right).m} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} .\sqrt {1 + {m^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - m} \right|}}{{\sqrt 2 .\sqrt {1 + {m^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \left| {1 - m} \right| = \sqrt {1 + {m^2}} \\ \Leftrightarrow 1 - 2m + {m^2} = 1 + {m^2}\\ \Leftrightarrow 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0.\end{array}\)

 Vậy với \(m = 0\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.