Tìm GTNN của hàm số y =3/x+12/(1-2x) với 0

ta có : \(y=\dfrac{3}{x}+\dfrac{12}{1-2x}=\left(\dfrac{3}{x}-6\right)+\left(\dfrac{12}{1-2x}-12\right)+18\)

\(y=\dfrac{3-6x}{x}+\dfrac{24x}{1-2x}+18=\dfrac{3\left(1-2x\right)}{x}+\dfrac{24x}{1-2x}+18\)

vì \(0< x< \dfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow\dfrac{3\left(1-2x\right)}{x}>0\) và \(\dfrac{24x}{1-2x}>0\)

áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 2 số : \(\dfrac{3\left(1-2x\right)}{x}>0\) và \(\dfrac{24x}{1-2x}>0\)

ta có : \(\dfrac{3\left(1-2x\right)}{x}+\dfrac{24x}{1-2x}\ge2\sqrt{\dfrac{3\left(1-2x\right)}{x}.\dfrac{24x}{1-2x}}=12\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\) \(y=\dfrac{3\left(1-2x\right)}{x}+\dfrac{24x}{1-2x}+18\ge18+12\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\) giá trị nhỏ nhất của \(y\) là \(18+12\sqrt{2}\)

dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{3\left(1-2x\right)}{x}=\dfrac{24x}{1-2x}\)

\(\Leftrightarrow3\left(1-2x\right)^2=24x^2\) \(\Leftrightarrow3\left(1-4x+4x^2\right)=24x^2\)

\(\Leftrightarrow3-12x+12x^2=24x^2\Leftrightarrow12x^2+12x-3=0\)

\(\Delta'=\left(6\right)^2-12.\left(-3\right)=36+36=72>0\)

\(\Rightarrow\) phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(x=\dfrac{-6+\sqrt{72}}{12}=\dfrac{-1+\sqrt{2}}{2}\) ; \(x=\dfrac{-6-\sqrt{72}}{12}=\dfrac{-1-\sqrt{2}}{2}\)

vậy giá trị nhỏ nhất của \(y\) là \(18+12\sqrt{2}\)

và dấy " = " xảy ra khi và chỉ khi \(x=\dfrac{-1\pm\sqrt{2}}{2}\)