Nếu ta lấy một số có hai chữ số chia cho tích hai chữ số của nó thì được thương là 2 và dư là 18. Nếu lấy tổng bình phương các chữ số của số đó cộng với 9 thì được số đã cho. Hãy tìm số đó.

Gọi a là chữ số hàng chục, b là chữ số hàng đơn vị.

Điều kiện a, b nguyên \(1 \le a \le 9\) và \(0 \le b \le 9\).

Ta có số cần tìm là \(\overline {ab}  = 10a + b\)

Vì \(\overline {ab} :ab = 2(\text { dư }\,18)\) nên 

\(\overline {ab}  = 2ab + 18 \Leftrightarrow 10a + b = 2ab + 18\)

Ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}10a + b = 2ab + 18\\{a^2} + {b^2} + 9 = 10a + b\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} + 9 = 2ab + 18\)\( \Leftrightarrow {(a - b)^2} = 9 \Rightarrow  a - b =  \pm 3\)

Trường hợp 1

\(a - b = 3\)\( \Leftrightarrow a = b + 3\)

Thay vào phương trình đầu của hệ phương trình ta được:

\(11b + 30 = 2(b + 3)b + 18\)\( \Leftrightarrow 2{b^2} - 5b - 12 = 0\)

Phương trình cuối có hai nghiệm: \({b_1} = 4,{b_2} =  - \dfrac{3}{2}\).

Giá trị \({b_2} =  - \dfrac{3}{2}\)không thỏa mãn điều kiện \(0 \le b \le 9\)nên bị loại.

Vậy b = 4, suy ra a = 7.

Trường hợp 2

\(a - b =  - 3\)\( \Leftrightarrow a = b - 3\)

Thay vào phương trình của hệ phương trình ra được

\(11b - 30 = 2(b - 3)b + 18\)\( \Leftrightarrow 2{b^2} - 17b + 48 = 0\)

Phương trình này vô nghiệm.

Vậy số phải tìm là 74.