Hãy giải hệ bất phương trình sau trên tập số thực : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right) > 0\\\left| {x - 1} \right| < x + 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right){\left( {x - 2} \right)^2} > 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right) > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) > 0\end{array} \right.\,\,\,\,\left( I \right)\end{array}\)

Đặt \(f\left( x \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right)\) . Ta có bảng:

\(\begin{array}{l} + )\,\,\,\left| {x - 1} \right| < x + 1\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} < {\left( {x + 1} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 1\\{x^2} - 2x + 1 < {x^2} + 2x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 1\\4x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\) \( \Rightarrow \left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\\left[ \begin{array}{l} - 2 < x < 1\\x > 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2 < x < 1\\x > 3\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)  

Từ (1) và (2) hệ bất phương trình đã cho có nghiệm là : \(\left[ \begin{array}{l}0 < x < 1\\x > 3\end{array} \right..\)