Hãy chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu là: \(\cot \dfrac{B}{2} = \dfrac{{a + c}}{b}\)

Áp dụng định lý hàm số sin ta có:\(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}}\)\( = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\) với \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2R\sin A\\b = 2R\sin B\\c = 2R\sin C\end{array} \right.\)

Khi đó: \(\cot \dfrac{B}{2} = \dfrac{{a + c}}{b}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\cos \dfrac{B}{2}}}{{\sin \dfrac{B}{2}}} = \dfrac{{2R\sin A + 2R\sin C}}{{2R\sin B}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\cos \dfrac{B}{2}}}{{\sin \dfrac{B}{2}}} = \dfrac{{\sin A + \sin C}}{{\sin B}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin B.\cos \dfrac{B}{2}}}{{\sin \dfrac{B}{2}}} = \sin A + \sin C\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{2\sin \dfrac{B}{2}.\cos \dfrac{B}{2}.\cos \dfrac{B}{2}}}{{\sin \dfrac{B}{2}}}\) \( = \sin A + \sin C\)

\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\dfrac{B}{2} = 2\sin \dfrac{{A + C}}{2}\cos \dfrac{{A - C}}{2}\)

\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\dfrac{B}{2} = \cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{{A - C}}{2}\) (vì \(\dfrac{{A + C}}{2} + \dfrac{B}{2} = \dfrac{\pi }{2}\) nên \(\sin \dfrac{{A + C}}{2} = \cos \dfrac{B}{2}\))

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos \dfrac{B}{2} = \cos \dfrac{{A - C}}{2}\\ \Rightarrow \dfrac{B}{2} = \dfrac{{A - C}}{2}\\ \Leftrightarrow B = A - C\\ \Leftrightarrow B + C = A\end{array}\)

Mà \(A + B + C = {180^0}\) (tổng ba góc trong tam giác)

Nên \(\widehat A = {90^0}\) hay \(\Delta ABC\) vuông tại A.