Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: \(\dfrac{{(2 - m)x}}{{x - 2}} = (m - 1)x - 1\)

Điều kiện của phương trình là \(x \ne 2\).

Khi đó ta có \(\dfrac{{(2 - m)x}}{{x - 2}} = (m - 1)x - 1\) \( \Leftrightarrow (2 - m)x = (x - 2){\rm{[}}(m - 1)x - 1]\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {2 - m} \right)x = \left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - x + 2\\
\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - x - \left( {2 - m} \right)x + 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){x^2} - \left( {2m - 2 + 1 + 2 - m} \right)x + 2 = 0
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow (m - 1){x^2} - (m + 1)x + 2 = 0(2)\)

Với \(m = 1\) phương trình (2) có dạng

\( - 2x + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1\)

Với \(m \ne 1\) thì phương trình (2) là một phương trình bậc hai có :

\(\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 8\left( {m - 1} \right) \) \(= {m^2} + 2m + 1 - 8m + 8 \) \(= {m^2} - 6m + 9 \) \(= {(m - 3)^2} \ge 0\).

Lúc đó phương trình (2) có hai nghiệm

\({x_1} = 1,{x_2} = \dfrac{2}{{m - 1}}\).

Ta có  \(\dfrac{2}{{m - 1}} \ne 2\) \( \Leftrightarrow m - 1 \ne 1\) \( \Leftrightarrow m \ne 2\)

Kết luận :

Với \(m = 1\) và \(m = 2\) phương trình đã cho có một nghiệm là \(x = 1\).

Với \(m \ne 1\)và \(m \ne 2\)phương trình đã cho có hai nghiệm

\(x = 1\) và \(x = \dfrac{2}{{m - 1}}\)