Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} 2x^3-y^2-2x+\sqrt{2y-1}=0

\(x\geq \frac{1}{2}\Rightarrow 2x^2+x-1=(x+1)(2x-1)\Rightarrow 2x^2+x-1+\frac{2}{\sqrt{2x-1}+1}> 0\)
\(\left\{\begin{matrix} 2x^3-y^2-2x+\sqrt{2y-1}=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)\\ \sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}=3(x+y) \end{matrix}\right.(x,y\in R)\)
Điều kiện: \(y\geq \frac{1}{2}\).  Với điều kiện này từ phương trình (4) ta suy ra x > 0. Ta có
\(\left\{\begin{matrix} \sqrt{5x^2+2xy+y^2}=\sqrt{(2x+y)^2+(x-y)^2}\geq \left | 2x+y \right |\geq 2x+y\\ \sqrt{2x^2+2xy+5y^2}=\sqrt{(x+2y)^2+(x-y)^2}\geq \left | x+2y \right |\geq x+2y \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \sqrt{5x^2+2xy+y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}\geq 3x+3y\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y và x, y dương
Nên từ phương trình (4) ta có \(x=y\geq \frac{1}{2}\)
Thay y = x vào phương trình (3) ta có
\(2x^3-x^2-2x+\sqrt{2x-1}=0\Leftrightarrow (2x^3-x^2-2x+1)+\sqrt{2x-1}-1=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)(2x^2+x-1)+\frac{2(x-1)}{\sqrt{2x-1}+1}=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)(2x^2+x-1+\frac{2}{\sqrt{2x-1}+1})=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=1\\ 2x^2+x-1+\frac{2}{\sqrt{2x-1}+1}=0\ \ \ \ \ (5) \end{matrix}\)
Với x = 1 \(\Rightarrow\) y = 1 (thỏa mãn)
Ta có \(x\geq \frac{1}{2}\Rightarrow 2x^2+x-1=(x+1)(2x-1)\Rightarrow 2x^2+x-1+\frac{2}{\sqrt{2x-1}+1> 0}\)
Nên phương trình (5) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x;y) =(1;1)