YOMEDIA
NONE

Chứng minh x/(x+yz)+y/(y+xz)+z/(z+xy) > = 9/4

 

cho x,y,z >0 và x+y+z=1  chứng minh

\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}+\frac{z}{z+xy}\geq \frac{9}{4}

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Yến Như

    Bạn ơi, hình như bài này đề đúng phải là : Cho x,y,z >0 và x+y+z=1. Chứng minh:

    \frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}+\frac{z}{z+xy}\leqslant \frac{9}{4}

    Ta có : x+yz=x.1+yz=x(x+y+z)+yz=x^2+xy+xz+yz=x(x+y)+z(x+y)=(x+y)(x+z)

    \Leftrightarrow \frac{x}{x+yz}=\frac{x}{(x+y)(x+z)}  (1)

    Cmtt, ta được : \frac{y}{y+xz}=\frac{y}{(x+y)(y+z)}  (2) ; \frac{z}{z+xy}=\frac{z}{(x+z)(y+z)}  (3)

    Từ (1),(2),(3) \Rightarrow \frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}+\frac{z}{z+xy}=\frac{x}{(x+y)(x+z)}+\frac{y}{(x+y)(y+z)}+\frac{z}{(x+z)(z+y)} =\frac{x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)}{(x+y)(y+z)(x+z)}=\frac{2(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(x+z)}

    Áp dụng BĐT xy+yz+xz\leqslant \frac{(x+y+z)^2}{3} , ta có: 

    xy+yz+xz\leqslant \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{1^2}{3}=\frac{1}{3}

    \Rightarrow 2(xy+yz+xz)\leqslant \frac{2}{3}   (4)

    Áp dụng BĐT abc\leqslant (\frac{a+b+c}{3})^{3} cho 3 số dương, ta có :

    (x+y)(y+z)(x+z)\leqslant (\frac{2(x+y+z)}{3})^{3}=(\frac{2.1}{3})^3=\frac{8}{27}  (5)

    Từ (4),(5) \Rightarrow VT\leqslant \frac{9}{4}  (đpcm)

      bởi Yến Như 04/08/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF